Convolutie

Differentiaalvergelijkingen en Lineaire algebra: Laplace-transformaties

Convolutie

De inverse Laplace-getransformeerde van het product van de Laplace getransformeerden van twee functies $f$ en $g$ is een convolutie van functies. We laten eerst zien wat de convolutie van twee functies is.

Laat $f$ en $g$ twee functies zijn gedefinieerd op $\ivco{0}{\infty}$ . Het convolutieproduct, of gewoon convolutie, van $f$ en $g$ , aangegeven met $f\ast g$ , is de functie op $\ivco{0}{\infty}$ gegeven door het voorschrift $( f\ast g) (t) = \int_0^t f(u)\cdot g(t-u)\,\dd u$

De convolutieproducten $f\ast 1$ en $1\ast f$ zijn primitieven van $f$ . Inderdaad is de eerste gelijk aan $\int_0^t f(t)\,\dd t$ en de tweede $\int_0^t f(t-u)\,\dd t = -\int_t^0f(v)\,\dd v$ (dankzij de substitutie $t-u =v$ ).

Het convolutieproduct heeft de volgende eigenschappen gemeen met het gewone product:

Rekenregels voor convoluties

$\begin{array}{lcrcl}\color{blue}{\text{commutativiteit:}}&\phantom{x}& f\ast g &=& g\ast f\\\color{blue}{\text{associativiteit:}}&\phantom{x}&(f\ast g)\ast h&=& f\ast (g\ast h)\\\color{blue}{\text{distributiviteit:}}&\phantom{x}& f\ast (g+ h)&=&f\ast g+f \ast h\end{array}$

Het convolutieproduct heeft niet alle eigenschappen van het gewone product. Zo is $1\ast 1 \ne 1$ , want

$\left(1\ast1\right)(t) = \int_0^t 1\cdot 1\,\dd u = t \ne 1$

Commutativiteit:

$\begin{array}{rcl}(f\ast g)(t) &=& \int_0^t f(u)\cdot g(t-u)\dd u\\ &=&-\int_t^0 f(t-v)\cdot g(v)\dd v\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{substitutie } u=t-v}\\ &=&\int_0^t g(v)\cdot f(t-v) \dd v\\ &=& (g\ast f)(t) \end{array}$

Associativiteit:

$\begin{array}{rcl}((f\ast g)\ast h)(t) &=& \int_0^t (f\ast g)(u)\cdot h(t-u)\dd u\\ &=&\int_0^t\int_0^u f(v)\cdot g(u-v) h(t-u)\dd v\,\dd u\\ &=&\int_0^t\int_v^t f(v)\cdot g(u-v) h(t-u)\dd u\,\dd v\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{integralen verwisseld}}\\ &=&\int_0^t\int_0^{t-v} f(v)\cdot g(w) h(t-w-v)\dd w\,\dd v\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{substitutie } w=u-v}\\ &=&\int_0^t f(v)\cdot (g\ast h)(t-v)\dd v\\ &=& (f\ast(g\ast h))(t) \end{array}$

Distributiviteit:

$\begin{array}{rcl}(f\ast (g+ h))(t) &=& \int_0^t f(u)\cdot (g+h)(t-u)\dd u\\ &=&\int_0^t f(u)\cdot g(t-u)\dd u+\int_0^t f(u)\cdot h(t-u)\dd u\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{lineariteit van de bepaalde integraal }}\\ &=&(f\ast g)(t)+(f \ast h)(t)\\ &=& (f\ast g+f \ast h)(t) \end{array}$

De volgende stelling zegt dat de Laplace-transformatie een convolutieproduct in het $t$ -domein overvoert in een gewoon product in het $s$ -domein.

De Laplace-transformatie $\mathcal{L}$ voldoet aan de volgende regel voor alle stuksgewijs continue functies $f$ en $g$ op $\ivco{0}{\infty}$ waarvan de Laplace-getransformeerde gedefinieerd is op $\ivco{a}{\infty}$ . $\mathcal{L}(f\ast g)={\mathcal L}(f) \cdot {\mathcal L}(g) \phantom{xx} \text{op }\phantom{xx}\ivco{a}{\infty}$

$\begin{array}{rcl} {\mathcal L}(f\ast g) (s) &=&\displaystyle \int_0^{\infty} (f\ast g)(t) \ee^{-s\cdot t}\dd t \\ &=&\displaystyle \int_0^{\infty} \int_0^t f(u)\cdot g(t-u)\,\dd u \,\ee^{-s\cdot t}\dd t\\ &=&\displaystyle \int_0^{\infty} \int_0^t f(u)\cdot g(t-u)\,\,\ee^{-s\cdot t}\dd u\dd t\\ &=&\displaystyle \int_0^{\infty} \int_u^{\infty} f(u)\cdot g(t-u)\,\ee^{-s\cdot t} \dd t \,\dd u\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{integratievolgorde verwisseld}}\\ &=&\displaystyle \int_0^{\infty} \int_u^{\infty} f(u)\cdot\ee^{-su} g(t-u)\,\ee^{-s\cdot( t-u)} \dd t \,\dd u\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\ee^{-su}\cdot \ee^{-s(t-u)} = \ee^{-st}}\\ &=&\displaystyle \int_0^{\infty} \int_0^{\infty} f(u)\cdot\ee^{-su} g(v)\,\ee^{-s\cdot v} \dd v \,\dd u\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{substitutie }t-u = v}\\ &=&\displaystyle \int_0^{\infty} f (u)\cdot \ee^{-su}\,\dd u \cdot \int_0^{\infty} g (v)\cdot \ee^{-sv}\,\dd v \\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{tweede term is constante in }u}\\&=& \displaystyle {\mathcal L}(f) (s)\cdot {\mathcal L}(g) (s)\\&=& \displaystyle \left({\mathcal L}(f) \cdot {\mathcal L}(g) \right)(s)\end{array}$

Toepassing van $\mathcal{L}^{-1}$ op deze formule laat zien dat, voor twee Laplace-getransformeerde functies $y(s)$ en $z(s)$ ,

$\mathcal{L}^{-1}(y)\ast \mathcal{L}^{-1}(z)={\mathcal L}^{-1}(y\cdot z)$

Met $f= \mathcal{L}^{-1}(y)$ en $g = \mathcal{L}^{-1}(z)$ kan dit geschreven worden als ${\mathcal L}^{-1}\left({\mathcal L}(f)\cdot{\mathcal L}(g) \right)=f\ast g$ , wat de versie is die vermeld staat aan het begin van deze pagina.

Het convolutieproduct van $f(t) = \e^{2 t}$ en $g(t) = t^2$ kan rechtstreeks bepaald worden door een primitieve van de functie $f(\tau)\cdot g(t-\tau)$ te bepalen. Deze is te vinden met behulp van partiële integratie.

Bepaal nu de convolutieproduct van $f(t) = \e^{2 t}$ en $g(t) = t^2$ met behulp van de Laplace-transformatie.

$(f\ast g) (t)=$ ${{\euler^{2\cdot t}}\over{4}}-{{t^2}\over{2}}-{{t}\over{2}}-{{1}\over{4}}$

Om te beginnen bepalen we $\laplace{(f)}$ en $\laplace{(g)}$ aan de hand van de speciale gevallen van de rekenregels voor Laplace-transformaties:
$\begin{array}{rclcl} \laplace{(f)}(s) &=& \laplace{(\e^{2 t})}(s) &=& \displaystyle {{1}\over{s-2}} \\ \laplace{(g)}(s) &=& \laplace{(t^2)}(s) &=& \displaystyle {{2}\over{s^3}} \\ \end{array}$
We maken de berekening nu af met behulp van de Convolutiestelling en de regel voor Inverse Laplace-getransformeerden van rationale functies: $\begin{array}{rclcl}(f\ast g) (t) &=&\displaystyle \laplace^{-1}{\left(\laplace{f}\cdot \laplace{g}\right)}(t) \\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{Convolutiestelling}}\\ &=&\displaystyle \laplace^{-1}{\left({{1}\over{s-2}}\cdot {{2}\over{s^3}}\right)}(t) \\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{hierboven berekend}}\\ &=&\displaystyle \laplace^{-1}{\left(-{{1}\over{4\cdot s}}-{{1}\over{2\cdot s^2}}-{{1}\over{s^3}}+{{1}\over{4\cdot \left(s-2\right)}}\right)}(t) \\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{partiële breuksplitsing}}\\ &=& \mathcal{L}^{-1}\left( -{{1}\over{4\cdot s}} \right)(t)+\mathcal{L}^{-1}\left( -{{1}\over{2\cdot s^2}} \right)(t)+\mathcal{L}^{-1}\left( -{{1}\over{s^3}} \right)(t)+\mathcal{L}^{-1}\left( {{1}\over{4\cdot \left(s-2\right)}} \right) (t) \\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{lineariteit van }\mathcal{L}^{-1}}\\ &=& \displaystyle {{\euler^{2\cdot t}}\over{4}}-{{t^2}\over{2}}-{{t}\over{2}}-{{1}\over{4}} \\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{bekende inverse Laplace-getransformeerden}}\\ \end{array}$

Nieuw voorbeeld