Differentiaalvergelijkingen en Lineaire algebra: Laplace-transformaties
Riemann-Stieltjes-integratie
Om te werken met deltafuncties, introduceren we een meer algemene benadering van de bepaalde integratie dan de Riemann-sommen.
Riemann-Stieltjes integraal Laat #f# en #g# stuksgewijs continue functies op een gesloten interval #\ivcc{a}{b}# zijn. In plaats van de oppervlakte van het gebied onder #f# te meten (zoals in Riemann-sommen) bekijken we de volgende uitdrukkingen:
\[\sum_{i=0}^{n-1}f(\xi_i)\cdot g\left(x_{i+1}-x_i\right)\] waarbij #\xi_i# een willekeurig getal is in het interval #\ivcc{x_i}{x_{i+1}}#. Een dergelijke som wordt een Riemann-Stieltjes-som van #f# met betrekking tot #g# van granulariteit #\varepsilon# genoemd als #\left|x_{i+1}-x_i\right|\lt\varepsilon# voor #i=0,\ldots,n-1#.
Als de limiet van alle Riemann-Stieltjes-sommen van #f# met betrekking tot #g# van granulariteit #\varepsilon# bestaat voor #\varepsilon\to0#, dan noemen we dat de Riemann-Stieltjes-integraal van #f# met betrekking tot #g# en duiden we die aan door middel van
\[\int_a^b f(x)\,\dd g(x)\]
Het volgende resultaat toont aan dat Riemann-Stieltjes-integralen Riemann-integralen generalizeren.
Riemann integralen zijn Riemann-Stieltjes-integralen Als #g# differentieerbaar is op #\ivoo{a}{b}#, dan geldt \[ \int_a^b f(x)\,\dd g(x) = \int_a^b f(x)\cdot g'(x)\,\dd x\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.