Differentiaalvergelijkingen: Het begrip differentiaalvergelijking
Oplossingen van differentiaalvergelijkingen
De exponentiële functie \[y(t)=\e^t\] heeft haarzelf als afgeleide en voldoet daarmee aan de differentiaalvergelijking \(y'=y\). Met andere woorden: ze is een oplossing van de GDV. De vergelijking \(y'=y\) heeft nog meer oplossingen, bijvoorbeeld: \[y(t)= 2\e^t,\quad y(t)= -\e^t,\quad y(t)= -\tfrac{1}{3}\e^t \] Deze oplossingen zijn allemaal van de gedaante #y(t)=C\cdot \e^t# voor een zekere constante \(C\). Elke oplossing heeft deze vorm:
Oplossing van de exponentiële groei-vergelijking
Laat #\lambda# een reëel getal zijn. De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking \[\frac{\dd y}{\dd t}=\lambda\cdot y\] is \[y(t)=C\cdot \e^{\lambda\cdot t}\] waarbij \(C\) een constante is.
Het speciale geval #\lambda=0# is al bekend: de enige functies die afgeleide gelijk aan #0# hebben, zijn de constante functies.
In het algemeen kan een differentiaalvergelijking meerdere oplossingen hebben, maar door gebruik te maken van constanten, vaak integratieconstanten genoemd, kan men soms toch de algemene oplossing van een differentiaalvergelijking met een functievoorschrift waarin integratieconstanten voorkomen.
Beginwaardeprobleem
Het bestaan van algemene oplossingen laat zien dat een GDV een hele schare oplossingen kan hebben. Om een bepaalde oplossing helemaal vast te leggen zijn extra voorwaarden nodig. Wanneer deze voorwaarden allemaal betrekking hebben op de waarde van de oplossing #y# of een afgeleide ervan voor een gegeven waarde van de onafhankelijke variabele (denk aan de toestand #y(0)# op tijdstip \(0\) of de snelheid #y'(0)# op tijdstip \(0\)), dan spreken we van een beginwaardeprobleem.
Als er een unieke oplossing van de GDV is die aan de beginvoorwaarde (hiermee bedoelen we de voorwaarde(n) van het beginwaardeprobleem) voldoet, dan noemen we die de specifieke oplossing van het beginwaardeprobleem (of: behorend bij die beginvoorwaarde).
Hebben alle extra voorwaarden betrekking op de rand van een interval waarop de functie gedefinieerd is (denk aan #y(2)=7# en #y(9)=13# voor de functie #y# op het interval #\ivcc{2}{9}#), dan spreekt men ook wel van een randwaardeprobleem. We spreken dan ook over de specifieke oplossing bij die randvoorwaarde.
De algemene oplossing van deze differentiaalvergelijking van exponentiële groei is gelijk aan \[y= C\cdot \e^t\] We gebruiken de voorwaarde \(y(0)=4\) door #t=0# en #y=4# hierin in te vullen. We krijgen dan de vergelijking \(4=C\cdot \e^{0} \), zodat #C = 4#. Door deze waarde van #C# in te vullen in de algemene oplossing vinden we de speciale oplossing van het beginwaardeprobleem:
\[ y= 4 \cdot \e^t \]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.