Differentiaalvergelijkingen: Richtingsvelden en oplossingskrommen
Existentie en uniciteit van oplossingen van GDVs
Gelet op de voorbeelden die tot nu toe behandeld zijn, verbaast het wellicht dat het definitiegebied van een oplossing een rol speelt. Het is namelijk niet zo dat een oplossing van een beginwaardeprobleem altijd bestaat en evenmin dat deze dan uniek bepaald is of voor elke waarde van de onafhankelijke variabele gedefinieerd is.
Twee belangrijke vragen in het geval van beginwaardeproblemen zijn
- Existentie: bestaat er minstens één oplossing en hoever reikt deze in de toekomst en het verleden?
- Uniciteit: onder welke voorwaarden is er hoogstens één oplossing?
Voor eerste-orde GDV's van de eerste graad is de volgende stelling erg nuttig.
Uniciteit van de oplossing van een eerste-orde GDV van eerste graad
Stel dat de functies \(\varphi(t,y)\) en \(\displaystyle\frac{\partial \varphi(t,y)}{\partial y}\) continu zijn op een rechthoek \(R\) in het \(t,y\)-vlak bestaande uit alle punten #\rv{t,y}# met #a\lt t\lt b# en #c\lt y \lt d# voor gegeven constanten #a#, #b#, #c#, #d#, en dat \(\rv{t_0,y_0}\) een punt in \(R\) is. Dan heeft het beginwaardeprobleem \[\frac{\dd y}{\dd t}=\varphi(t,y)\]
- (existentie) een oplossing \(y(t)\) op een zeker open interval voor #t# dat #t_0# bevat en binnen het open interval \(\ivoo{a}{b}\) ligt,
- (uniciteit) niet meer dan één oplossing op een open interval binnen het in de existentie-uitspraak bedoelde interval dat #t_0# bevat.
We zullen veel aandacht besteden aan de lineaire eerste-orde differentiaalvergelijking: \[y' +p(t)\cdot y =q(t)\] Als de functies #p(t)# en #q(t)# continu zijn op een open interval #\ivoo{a}{b}# met #a\lt t_0\lt b#, dan zijn de voorwaarden van de stelling vervuld op de rechthoek #R# van alle punten #\rv{t,y}# met #a\lt t\lt b#. Inderdaad: \(\varphi(t,y)=q(t)-p(t)\cdot y\) is continu op #R# omdat \(p(t)\cdot y\) het product is van de continue functies #p(t)# van #t# en #y# van #y# (de identieke functie), en omdat \( \displaystyle\frac{\partial \varphi(t,y)}{\partial y}=-p(t)\) continu is op \(R\). Later zullen we zien dat in dit geval de existentie en uniciteit gelden op het hele interval #\ivoo{a}{b}#, en verder dat we een expliciete oplossing kunnen geven, op de bepaling van twee primitieven na.
Het open interval om #t_0# waarop de unieke oplossing van bovenstaande stelling gevonden kan worden, kan zo groot mogelijk gekozen worden. Dan spreekt men van het geldigheidsinterval van het beginwaardeprobleem.
Zelfs als existentie en uniciteit gegarandeerd is, blijkt het nog een interessante zaak om het maximale interval te bepalen waarop de oplossing van een beginwaardeprobleem bestaat. Dit existentie-interval hangt vaak af van de keuze van de beginwaarde. Er is dus eigenlijk sprake van lokale existentie: oplossingen bij een beginwaarde #\rv{t_0,y_0}# hoeven niet gedefinieerd te zijn voor alle waarden van \(t\).
Als aan de voorwaarden in de bovenstaande stelling niet voldaan, is kan existentie en uniciteit wel een probleem zijn. Drie voorbeelden passeren hieronder de revue:
- meerdere oplossingen van een beginwaardeprobleem,
- ontploffende oplossingen en meerdere oplossingen voor de prijs van één formule,
- tot stilstand komende oplossingen.
\(t\cdot \frac{\dd y}{\dd t}=y-t^2\cdot\cos(t),\quad y(0)=0\)
We beginnen met het herschrijven van dit beginwaardeprobleem in de gedaante die gehanteerd is in de stelling voor existentie en uniciteit: \[\frac{\dd y}{\dd t}=\frac{y}{t}-t\cdot\cos(t)\]Dit lukt alleen voor \(t\neq 0\). Er kunnen dus problemen met existentie en uniciteit ontstaan als \(t=0\). Deze differentiaalvergelijking kan gelukkig ook exact opgelost worden en zo kan uitgezocht worden wat er aan de hand is. Schrijf bovenstaande GDV eerst in de volgende vorm: \[\frac{y'\cdot t-y}{t^2}=-\cos(t)\] Aan de linker kant van deze vergelijking staat volgens de quotiëntregel voor differentiëren niets anders dan de afgeleide van \(\frac{y}{t}\). De rechter kant kan geschreven worden als de afgeleide van \(-\sin(t)\). Dus: \[ \frac{\dd}{\dd t}\left( \frac{y}{t} \right)=\frac{\dd}{\dd t}\left(-\sin(t)\right) \] De afgeleiden aan de linker en rechter kant van laatstgenoemde vergelijking zijn gelijk en dus zijn de functies waarvan de afgeleiden berekend worden op een constante na gelijk aan elkaar: \[\frac{y}{t}=C-\sin( t)\] oftewel \[y=C\cdot t-t\cdot\sin( t)\] voor zekere constante \(C\). Invullen van deze oplossing in de GDV laat zien dat deze functie overal gedefinieerd is en een oplossing is voor alle #C#. Voor elke keuze van deze constante geldt \(y(0)=0\). In het bijzonder heeft het beginwaardeprobleem oneindig veel oplossingen.
Enkele oplossingskrommen van dit beginwaardeprobleem zijn tezamen met het richtingsveld getekend in onderstaande figuur.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
