Differentiaalvergelijkingen: Richtingsvelden en oplossingskrommen
Oplossingsstrategie aan de hand van het richtingsveld
Bij asymptotiek van een beginwaardeprobleem handelt het om het gedrag van oplossingen wanneer de tijd \(t\) een grens van het maximale existentie-interval nadert. Het kan simpelweg gaan om het ‘ontploffen’ van een oplossing, maar ook kan het gaan om het naderen van een specifieke oplossing. In beide gevallen kan het richtingsveld helpen om een oplossing te vinden.
Algemene oplossingsstrategie voor een eerste-orde GDV van eerste graad
De volgende aanpak voor een GDV die de vorm #y'=\varphi(t,y)# heeft, kan helpen bij het vinden van de algemene oplossing.
- Teken het richtingsveld
- Bekijk het richtingsveld om te bezien of er speciale oplossingen zijn, zoals een periodieke, een evenwichtsoplossing in het autonome geval, of punten waar een specifieke oplossing aan een grens van het maximale existentie-interval komt.
- Stel een vermoeden op voor de vorm van die oplossing op in termen van bekende functies met enkele parameters
- Vul deze vermoede oplossingsfunctie in in de differentiaalvergelijking en bezie of er vergelijkingen in de parameters uitkomen die tot een oplossing leiden; zo ja, dan is er een oplossing gevonden.
- Bekijk het gedrag van oplossingen in de buurt van de oplossingskromme die bij de gevonden oplossing hoort, en vervang #s(t)# door een geschikte bewerking van #s(t)# met een algemene functie #u(t)#.
- Transformeer de vergelijking in #y# tot een differentiaalvergelijking in #u# (die eenvoudiger is dan de oorspronkelijke GDV) en los deze op.
Er is geen garantie dat deze strategie werkt. Later zullen we bijzondere gevallen leren kennen waarin wel altijd oplossingen te vinden zijn.
We illustreren deze aanpak aan de hand van enkele voorbeelden.
Bekijk de volgende differentiaalvergelijking: \[\frac{\dd y}{\dd t}=t-y\] Het richtingsveld van deze differentiaalvergelijking is in onderstaande figuur getekend, tezamen met enkele oplossingskrommen. In dit voorbeeld nadert elke oplossingskromme de zwarte oplossingskromme. Bepaal deze specifieke oplossing #s(t)#.
Gebruik vervolgens de gevonden specifieke oplossing #s(t)# om de algemene oplossing te zoeken in de vorm #y(t)=u(t)+s(t)# voor een nader te bepalen functie #u(t)#.
\(s(t)=t-1\)
\(y(t)=C\cdot\e^{-t}+t-1\)
Stel dat een oplossing van de vorm \(s(t)=a\cdot t+b\) bestaat. Invullen van deze functie voor #y# in de GDV geeft
\[\begin{array}{rcl}\dfrac{\dd}{\dd t}(a\cdot t+b)&=&t-(a\cdot t+b)\\
a&=&(1-a)\cdot t-b\\
&&\phantom{x}\color{blue}{\text{ differentiatie uitgevoerd en vereenvoudigd}}
\end{array}\]Alleen rechts komt een term met #t# voor: die moet dus gelijk aan #0# zijn, zodat #a=1#. Invullen van deze waarde voor #a# reduceert de vergelijking tot #a=-b#, zodat #b=-1#. We vinden dus #s(t)=t-1#. Met andere woorden: de rechte lijn met vergelijking \(y=t-1\) is een oplossingskromme van de differentiaalvergelijking.
Stel nu dat \[y(t)=u(t)+s(t)\] ook een oplossing is van de differentiaalvergelijking voor een nog nader te bepalen functie #u#. Invulen van #u(t)+s(t)# voor #y(t)# in de GDV geeft
\[\begin{array}{rcl}\dfrac{\dd}{\dd t} (u(t)+t-1)&=&t-u(t)-t+1\\
\dfrac{\dd}{\dd t}u&=&-u\\
u(t)&=&C\cdot\e^{-t}\\
&&\phantom{x}\color{blue}{C \text{ is een willekeurige constante}}
\end{array}\]
De laatste stap volgt uit de oplossing van de exponentiële groei-vergelijking. De algemene oplossing van de oorspronkelijke differentiaalvergelijking wordt dus gegeven door: \[y(t)=C\cdot\e^{-t}+t-1\] Voor grote \(t\) is de eerste term verwaarloosbaar klein en er geldt dus: \[y(t)\approx t-1 \text{ voor grote } t\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.