We laten eerst zien hoe lineaire eerste-orde GDV's met constante coëfficiënten op te lossen zijn.
De algemene oplossing van de eerste-orde lineaire GDV \[ \displaystyle\frac{\dd y}{\dd t}+p\cdot y=q\cdot t\] in de onbekende functie #y# van #t#, waarbij #p# en #q# constanten zijn met #p\ne0#, is
\[y(t)=C\cdot\e^{-p\cdot t}+\frac{q}{p}\cdot t-\frac{q}{p^2}\]
Hier is #C# de integratieconstante.
We schrijven eerst de differentiaalvergelijking in differentiaalvorm: \[\dd y+p\cdot y\,\dd t=q\cdot t\,\dd t\] Vermenigvuldigen van deze gelijkheid links en rechts met \(\e^{p\cdot t}\) levert op: \[\e^{p\cdot t}\,\dd y+p\cdot\e^{p\cdot t}\cdot y\,\dd t=q\cdot t\cdot\e^{p\cdot t}\,\dd t\] Met behulp van de productregel van differentialen kan het linker lid vereenvoudigd worden: \[\dd\left(\e^{p\cdot t}\cdot y\right)=q\cdot t\cdot\e^{p\cdot t}\,\dd t\] Dus: \[\e^{p\cdot t}\cdot y=\int q\cdot t\cdot\e^{p\cdot t}\,\dd t=q\int t\cdot\e^{p\cdot t}\,\dd t \] De integraal aan de rechter kant kan door middel van partiële integratie uitgerekend worden: \[\begin{array}{rcl}\displaystyle\int t\cdot\e^{p\cdot t}\,\dd t &=&\displaystyle\int t\cdot\frac{\dd}{\dd t}\left(\frac{1}{p}\e^{p\cdot t}\right)\,\dd t\\ \\ &=&\displaystyle\frac{t}{p}\e^{p\cdot t}-\int \frac{\dd}{\dd t}(t)\cdot \left(\frac{1}{p}\cdot\e^{p\cdot t}\right)\,\dd t\\ \\ &=&\displaystyle\frac{t}{p}\e^{p\cdot t}-\frac{1}{p}\int \e^{p\cdot t}\,\dd t\\ \\ &=&\dfrac{t}{p}\cdot\e^{p\cdot t}-\dfrac{1}{p^2}\cdot\e^{p\cdot t}+C\\ \end{array}\] voor een zekere constante \(C\). We kunnen hiermee de algemene oplossing van de GDV schrijven als \[y=C\cdot\e^{-p\cdot t}+\frac{q}{p}\cdot t-\frac{q}{p^2}\]
Volgens de stelling Lineaire structuur van lineaire GDV's is de oplossing gelijk aan de som van de particuliere (evenwichts)oplossing \(\displaystyle y=\frac{q}{p}\cdot t-\frac{q}{p^2}\) en de algemene oplossing \(y=C\cdot\e^{-p\cdot t}\) van de homogene vergelijking \(\displaystyle\frac{\dd y}{\dd t}+p\cdot y=0\). De uitdrukking achter de differentiaal in het linker lid van de vergelijking in het bewijs hangt alleen van de homogene GDV af.
Als #p=0#, dan is de algemene oplossing de integraal #y = \int q\cdot t\,\dd t = \frac{1}{2}q\cdot t^2+C#.
In het gegeven bewijs wordt de differentiaalvergelijking vermenigvuldigd met een functie die het mogelijk maakt om de termen met #y# en met #\dd y# onder één differentiaal te brengen. Daar gaan we nader op in.
In het bewijs van de stelling hebben we de GDV eerst in differentiaalvorm geschreven en vervolgens alle termen met #\e^{p\cdot t}# vermenigvuldigd. Die factor zorgde ervoor dat we de termen met #{\dd y}# en #y\,\dd t# konden samenvoegen tot één differentiaal (dat wil zeggen: onder één #\dd#). Zo'n factor heet een integrerende factor.
In het geval van een homogene lineaire eerste-orde GDV #y'+p(t)\cdot y = 0# is #\e^{P(t)}#, waarbij #P(t)# een primitieve is van #p(t)#, een integrerende factor.
In het geval van een homogene lineaire eerste-orde GDV #y'+p(t)\cdot y = 0# is #\e^{P(t)}#, waarbij #P(t)# een primitieve is van #p(t)#, een integrerende factor: de differentiaalvorm vermenigvuldigd met deze factor is \[\e^{P(t)}\,\dd y+\e^{P(t)}\cdot y\cdot p(t)\,\dd t = 0\] wat herschreven kan worden tot
\[\dd \left(\e^{P(t)}\cdot y\right) = 0\]
Integratie geeft \(\e^{P(t)}\cdot y = C\), waarbij #C# een integratieconstante is, zodat de algemene oplossing is:
\[ y = \e^{-P(t)}\cdot C\]
De productregel voor differentialen maakt het mogelijk om een som van differentialen die de vorm #\dd y +p(t)\cdot y\,\dd t# heeft, na vermenigvuldiging met de integrerende factor #\e^{P(t)}#, te schrijven als de enkele differentiaal #\dd\left(\e^{P(t)}\cdot y\right) #. Inderdaad:
\[\begin{array}{rcl}\dd\left(\e^{P(t)}\cdot y\right) &=&\e^{P(t)}\,\dd y+y\,\dd\e^{P(t)}\\ &=&\e^{P(t)}\,\dd y+\frac{\dd}{\dd t} \left(\e^{P(t)}\right) \cdot y\,\dd t\\ &=&\e^{P(t)}\,\dd y+p(t) \cdot \e^{P(t)} \cdot y\,\dd t\\ &=&\e^{P(t)} \cdot\left(\dd y+p(t) \cdot y\,\dd t\right)\end{array}\]
In het geval van een inhomogene lineaire eerste-orde GDV #y'+p(t)\cdot y = q(t)# is #\e^{P(t)}#, waarbij #P(t)# een primitieve is van #p(t)#, ook een integrerende factor. Als eenmaal een particuliere oplossing #y_{\text{part}}# voor de GDV gevonden is, volgt uit de stelling Lineaire structuur van lineaire GDV's dat de algemene oplossing gelijk is aan
\[y = \e^{-P(t)}\cdot C + y_{\text{part}}\]
Hieronder geven we nog wat voorbeelden.
De volgende homogene lineaire eerste-orde GDV, waarbij \(r\) een constante ongelijk aan #0# is, beschrijft exponentiële groei: \[\frac{\dd y}{\dd t}=r\cdot y\]
Geef de algemene oplossing van deze vergelijking.
\(y = C\cdot\e^{r\cdot t}\)
Eerder hebben we deze GDV opgelost door middel van scheiding van variabelen.
De stelling
Oplossing van eerste-orde lineaire GDV met constante coëfficiënten geeft dat de oplossing is \[y(t)=C\cdot\e^{-p\cdot t}+\frac{q}{p}\cdot t-\frac{q}{p^2}\] waarbij #p=-r# en #q=0#. Dit geeft onmiddellijk het antwoord \(y = C\cdot\e^{r\cdot t}\).
Als derde mogelijke oplossingsmethode, laten we zien hoe je een integrerende factor kunt gebruiken om het antwoord af te leiden.
\[\begin{array}{rcl}\dd y-r\cdot y\,\dd t&=&0\\
&&\phantom{x}\color{blue}{\text{differentiaalvorm}}\\
\e^{-r\cdot t }\dd y-\e^{-r\cdot t }\cdot r\cdot y\,\dd t&=&0\\
&&\phantom{x}\color{blue}{\text{differentiaalvorm vermenigvuldigd met integrerende factor;}}\\
&&\phantom{x}\color{blue}{\text{die factor heeft de vorm }\e^{-r\cdot t}}\\
&&\phantom{x}\color{blue}{\text{want }{-r\cdot t}\text{ is een primitieve van }-r}\\
&&\phantom{x}\color{blue}{\text{zodat het linker lid als volgt geschreven kan worden}}\\
\dd\left(\e^{-r\cdot t } \cdot y\right)&=&0\\
&&\phantom{x}\color{blue}{\text{differentiaalvorm onder één differentiaal gebracht}}\\
\e^{-r\cdot t }\cdot y&=&C\\
&&\phantom{x}\color{blue}{\text{differentiaalvorm geïntegreerd met integratieconstante }C}\\
y&=&C\cdot\e^{r\cdot t } \\
&&\phantom{x}\color{blue}{y\text{ opgelost}}\\
\end{array}\]
Lineaire eerste-orde GDV en integrerende factor
