Uniciteit van oplossingen van lineaire 2de orde GDV's

Differentiaalvergelijkingen: Lineaire tweede-orde differentiaalvergelijkingen

Uniciteit van oplossingen van lineaire 2de orde GDV's

We zullen ons in de rest van dit hoofdstuk voornamelijk bezighouden met lineaire differentiaalvergelijkingen van tweede orde. Veel gewone differentiaalvergelijkingen die van belang zijn in natuurwetenschappen en techniek, zijn van dit type.

Het gaat, zoals bekend, om GDV's die de volgende vorm hebben, waarbij \(a(t)\), \(b(t)\), \(c(t)\) en \(f(t)\) functies zijn met #a(t)\ne0#, \[a(t)\cdot \frac{\dd^2y}{\dd t^2}+b(t)\cdot\frac{\dd y}{\dd t}+c(t)\cdot y=f(t)\] Ook is bekend dat de vergelijking homogeen heet als \(f(t)=0\). De functies \(a(t)\), \(b(t)\) en \(c(t)\) heten coëfficiënten. Wanneer deze coëfficiënten constant zijn, dan kan de algemene oplossing in termen van elementaire functies uitgedrukt worden.

We mogen aannemen dat de coëfficiënt #a(t)# ongelijk aan nul (dat wil zeggen: de constante functie #0#) is. Anders hebben we immers te maken met een eerste-orde vergelijking. Daarom kunnen we delen door #a(t)#. In de vergelijking die dan ontstaat is de coëfficiënt van #y''# gelijk aan #1#. We zeggen in dat geval dat de vergelijking de standaardvorm heeft.

Uniciteit van oplossingen van lineaire tweede-orde differentiaalvergelijkingen

Laat #t_0# een punt zijn in een open interval #\ivoo{c}{d}# (dat wil zeggen: #c\lt t_0\lt d#) en laat \(p\), \(q\) en \(g\) continue functies zijn op dit interval. Dan heeft het beginwaardeprobleem \[ y'' + p(t)\cdot y' + q(t)\cdot y = g(t), \phantom{xxx}\text{met }\phantom{xx}y(t_0) = \alpha\phantom{xx}\text{en }\phantom{xx} y'(t_0) = \beta\]waarbij #\alpha# en #\beta# willekeurige getallen zijn, een unieke oplossing die gedefinieerd is op het hele interval #\ivoo{c}{d}#.

Een gevolg van de stelling is dat de algemene oplossing van een lineaire tweede-orde GDV met de aangegeven eigenschappen twee vrije parameters (integratieconstanten) heeft. In termen van lineaire algebra: de oplossingsverzameling is #2#-dimensionaal.

Een zeer eenvoudig voorbeeld is: \[y''=b(t)\] waarbij #b# een continue functie is die op een open interval rond #0# gedefinieerd is.

Een particuliere oplossing is te vinden door het rechter lid te primitiveren (een primitieve bestaat omdat #b# continu is).

De bijbehorende homogene vergelijking heeft als algemene oplossing #y=A\cdot t + B#. Dit is direct in te zien door tweemaal te primitiveren (schrijf #u=y'# en los eerst #u'=0# op: #u=A# voor constante #A# en los vervolgens #y'=u# op: #y=A\cdot t + B# voor constante #B#). Maar we kunnen dit feit ook uit de stelling afleiden: Laat #y# een willekeurige oplossing van de homogene GDV #y''=0# zijn. Kies #\beta=y(0)# en #\alpha=y'(0)#. De stelling laat zien dat er precies één functie #u# is met #u''=0#, #u(0)=\beta# en #u'(0)=\alpha#. Zowel #y# als #\alpha\cdot t+\beta# voldoen aan deze voorwaarden. Hieruit volgt #y=u=\alpha\cdot t+\beta#. Dit laat zien dat elke oplossing van de homogene GDV de vorm #A\cdot t + B# heeft.

De conclusie is dat, als #F(t)# een primitieve van een primitieve van #b(t)# is, de algemene oplossing van de oorspronkelijke GDV, #y''=b(t)#, is:

\[ y= A\cdot t + B +F(t)\]

Een vergelijkbare stelling bestaat er voor lineaire GDV's van hogere orde.

Hieronder volgen enkele voorbeelden, waaronder de beroemde differentiaalvergelijking van de mathematische slinger, en een voorbeeld dat laat zien dat uniciteit niet afgedwongen kan worden door de functiewaarde #y(t)# voor twee verschillende waarden van #t# te specificeren.

De volgende lineaire tweede-orde differentiaalvergelijking, waarbij \(\omega\) een vast getal is, beschrijft de mathematische slinger \[\frac{\dd^2y}{\dd t^2}+\omega^2\cdot y=0\]
Bepaal de algemene oplossing van deze GDV.

\(y(t)=A\cos(\omega\cdot t)+B\sin(\omega\cdot t)\), waarbij \(A\) en \(B\) constanten zijn

We zoeken oplossingen van de vorm \[y(t)=\e^{\lambda\cdot t}\]
waarbij \(\lambda\) een nog nader te bepalen constante is. Invullen van dit functievoorschrift voor #y# en het bijbehorende functievoorschrift \(y''(t)=\lambda^2\cdot\e^{\lambda\cdot t}\) voor de tweede afgeleide in de GDV levert de volgende conditie voor \(\lambda\) op: \[\lambda^2 + \omega^2=0\] Deze vergelijking in de onbekende \(\lambda\) heeft twee complexe oplossingen: \(\lambda=\ii\cdot\omega\) en \(\lambda=-\ii\cdot\omega\). Dus zijn \(y_1(t)=\e^{\ii\cdot\omega\cdot t}\) en \(y_2(t)=\e^{-\ii\cdot\omega\cdot t}\) complexe oplossingen van de gegeven GDV. Deze oplossingen zijn elkaars complex geconjugeerde. Omdat elke lineaire combinatie \(c_1\cdot y_1(t)+c_2\cdot y_2(t)\) (met constanten \(c_1\) en \(c_2\)) ook een oplossing is, kunnen we hieruit twee reële oplossingen van de GDV destilleren, namelijk het reële en het imaginaire deel van #y_1(t)#:
\[\begin{array}{rcl}
y_{\text{cos}}(t)&=&\frac{\e^{\ii\cdot\omega\cdot t}+\e^{-\ii\cdot\omega\cdot t}}{2}=\cos(\omega\cdot t)\\
&\text{en}& \\
y_{\text{sin}}(t)&=&\frac{\e^{\ii\cdot\omega\cdot t}-\e^{-\ii\cdot\omega\cdot t}}{2\ii}=\sin(\omega\cdot t)\end{array}\] Ook is elke reële lineaire combinatie van deze twee functies weer een oplossing van de GDV.

We maken nu gebruik van het feit dat de dimensie van de lineaire deelruimte van alle oplossingen #2# is, om te concluderen dat de algemene reële oplossing van de gegeven GDV als volgt beschreven kan worden met twee willekeurige integratieconstanten #A# en #B#: \[y(t)=A\cos(\omega\cdot t)+B\sin(\omega\cdot t)\]

Nieuw voorbeeld