De Wronskiaan van twee differentieerbare functies

Differentiaalvergelijkingen: Oplosmethoden voor lineaire tweede-orde GDV's

De Wronskiaan van twee differentieerbare functies

Wronskiaan Voor ieder tweetal $y_1(t)$ , $y_2(t)$ van differentieerbare functies op een interval is de Wronskiaan de functie $W$ gedefinieerd door $W(t)=y_1(t)\cdot y_2'(t)-y_1'(t)\cdot y_2(t)$

Als bijvoorbeeld $y_1(t)=t$ en $y_2(t)=t^2$ , dan zijn de afgeleiden $y_1'(t)=1$ en $y_2'(t)=2t$ , zodat hun Wronskiaan voldoet aan

$W(t) = t\cdot 2t-1\cdot t^2 = t^2$

Wie bekend is met lineaire algebra zal in de Wronskiaan de determinant van een $(2\times2)$ -matrix herkennen: $W(t)=\det\begin{pmatrix} y_1(t)&y_2(t)\\ y_1'(t)&y_2'(t)\end{pmatrix}$

Algemener is er, voor elk geheel getal $n\ge2$ een Wronskiaan van $n$ functies $y_1,\ldots,y_n$ die $n-1$ keer differentieerbaar zijn. De Wronskiaan wordt dan gedefinieerd als de determinant van de $n\times n$ matrix waarvan de $j$ -de rij bestaat uit de $(j-1)$ -ste afgeleiden van de functies $y_1,\ldots,y_n$ : $W(t)=\det\begin{pmatrix} y_1(t)&y_2(t)& \cdots & y_n(t) \\ y_1'(t)&y_2'(t)& \cdots & y'_n(t)\\ y_1''(t)&y_2''(t)& \cdots & y''_n(t)\\ \vdots & \vdots & \ddots \\ y_1^{(n-1)}(t)&y_2^{(n-1)}(t)& \cdots & y^{(n-1)}_n(t) \end{pmatrix}$

Hierbij geeft $y^{(n-1)}$ de $(n-1)$ -ste afgeleide van $y$ aan; in het bijzonder geldt $y^{(1)}=y'$ en $y^{(2)}=y''$ .

We brengen in herinnering uit de lineaire algebra dat twee functies $y_1(t)$ en $y_2(t)$ op een interval (dat ook de hele rechte kan zijn) lineair afhankelijk zijn, als er constanten $\lambda_1$ en $\lambda_2$ bestaan die niet beide gelijk aan $0$ zijn, zodat $\lambda_1\cdot y_1(t)+\lambda_2\cdot y_2(t) =0$ voor alle $t$ in het interval.

Lineair onafhankelijkheidscriterium aan de hand van de Wronskiaan

Laat $y_1(t)$ en $y_2(t)$ twee differentieerbare functies op een interval zijn.

Als het tweetal functies lineair afhankelijk is, dan is de Wronskiaan ervan gelijk aan $0$ op het hele interval.

De differentieerbare functies $t^2$ en $t\cdot |t|$ zijn lineair onafhankelijk op het interval $\ivcc{-1}{1}$ , terwijl $W(t)=0$ op dat interval. Dit laat zien dat het niet waar is dat, als de Wronskiaan gelijk aan nul is op een interval, de functies lineair afhankelijk zijn.

De volgende alternatieve formulering van de stelling laat zien dat een berekening van de Wronskiaan voldoende kan zijn om vast te stellen dat twee functies lineair onafhankelijk zijn:

Als de Wronskiaan van $y_1(t)$ en $y_2(t)$ ongelijk aan $0$ is voor een waarde van $t$ in het interval, dan zijn de functies $y_1(t)$ en $y_2(t)$ lineair onafhankelijk op dat interval.

Stel dat $y_1$ en $y_2$ lineair afhankelijk zijn. Dan zijn er constanten $\lambda_1$ en $\lambda_2$ , niet allebei gelijk aan $0$ , die voldoen aan $\lambda_1\cdot y_1(t)+\lambda_2\cdot y_2(t)=0$

voor alle $t$ in het gegeven interval. Neem aan dat $\lambda_1\ne0$ (de redenering voor het geval $\lambda_2\ne0$ is nauwelijks anders). Dan geldt $y_1(t)=-\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\cdot y_2(t)$ , zodat $y_1'(t) =- \frac{\lambda_2}{\lambda_1}\cdot y_2'(t)$ en

$\begin{array}{rcl}W(t) &=& y_1(t)\cdot y_2'(t)-y_1'(t)\cdot y_2(t) \\ &=&-\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\cdot y_2(t)\cdot y_2'(t)+\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\cdot y_2'(t)\cdot y_2(t)\\ & =& 0\end{array}$

We weten dat een lineaire differentiaalvergelijking van tweede orde twee lineair onafhankelijke oplossingen heeft. De Wronskiaan van die twee oplossingen kunnen we berekenen:

Stel dat $y_1$ en $y_2$ oplossingen van de homogene lineaire differentiaalvergelijking $y''+p(t)\cdot y'+q(t)\cdot y=0$ zijn die gedefinieerd zijn op een interval rond $a$ . Dan voldoet de Wronskiaan van $y_1$ en $y_2$ aan $W(t)=C\cdot\e^{-P(t)}$

waarbij $C$ een constante is en $P(t)=\int_a^t p(t)\,\dd t$ .

Kiezen we $y_1$ en $y_2$ nu zó dat $y_1(a)=y_2'(a)=1\phantom{xxx}\text{ en }\phantom{xxx} y_1'(a)=y_2(a)=0$

dan zijn deze twee oplossingen lineair onafhankelijk en voldoet hun Wronskiaan aan $W(t)=\e^{-P(t)}$

Eerst gaan we na dat $W$ aan een eerste-orde vergelijking voldoet: $\begin{array}{rcl} W'(t) &=& \dfrac{\dd}{\dd t}\left(y_1(t)\cdot y_2'(t)- y_2(t)\cdot y_1'(t)\right)\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie van }W'}\\ &=& \dfrac{\dd}{\dd t}\left(y_1(t)\cdot y_2'(t)\right)- \dfrac{\dd}{\dd t}\left(y_2(t)\cdot y_1'(t)\right)\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{somregel voor differentiatie}}\\ &=& y_1'(t)\cdot y_2'(t)+y_1(t)\cdot y_2''(t)- y_2'(t)\cdot y_1'(t)- y_2(t)\cdot y_1''(t)\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{productregel voor differentiatie (twee maal toegepast)}}\\ &=& y_1(t)\cdot y_2''(t) - y_2(t)\cdot y_1''(t)\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{vereenvoudigd met } y_1'(t)\cdot y_2'(t) - y_2'(t)\cdot y_1'(t) = 0}\\ &=& y_1(t)\cdot\left(-p(t)\cdot y_2'(t)-q(t)\cdot y_2(t)\right) \\ &&\qquad -y_2(t)\cdot \left(-p(t)\cdot y_1'(t)-q(t)\cdot y_1(t)\right)\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{differentiaalvergelijking gebruikt ter vervanging van }y_1''\text{ en }y_2''}\\ &=& -y_1(t)\cdot p(t)\cdot y_2'(t) -y_1(t)\cdot q(t)\cdot y_2(t) \\ &&\qquad +\; y_2(t)\cdot p(t)\cdot y_1'(t) + y_2(t)\cdot q(t)\cdot y_1(t)\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{distributie van } y_1(t) \text{ en } y_2(t)}\\ &=& -p(t)\cdot y_1(t)\cdot y_2'(t) + p(t)\cdot y_2(t)\cdot y_1'(t)\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{vereenvoudigd met } y_2(t)\cdot q(t)\cdot y_1(t) - y_1(t)\cdot q(t)\cdot y_2(t) = 0}\\ &=& -p(t)\cdot\left(y_1(t)\cdot y_2'(t)- y_2(t)\cdot y_1'(t)\right)\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{-p(t)\text{ buiten haakjes gehaald}}\\ &=& -p(t)\cdot W(t)\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie van }W} \end{array}$

Bijgevolg voldoet $W$ aan de eerste-orde lineaire GDV $W'=-p(t)\cdot W(t)$ waarvan de algemene oplossing bekend is:

$W(t)=C\cdot\e^{-P(t)}$

waarbij $C$ een integratieconstante is en $P(t)=\int_a^t p(t)\,\dd t$ .

Als we tenslotte oplossingen $y_1$ en $y_2$ van de oorspronkelijke GDV nemen met beginvoorwaarden in $a$ als aangegeven, dan geldt $\begin{array}{rcl}C &=& C \cdot\e^{-P(a)}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{P(a)=\int_a^ap(t)\,\dd t=0}\\ &=& W(a)\\&&\phantom{xx}\color{blue}{W(t)=C\cdot\e^{-P(t)}}\\ &=& y_1(a)\cdot y_2'(a)-y_1'(a)\cdot y_2(a)\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie }W}\\&=&1\cdot 1-0\cdot 0 \\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{beginvoorwaarden in }a}\\&=& 1\end{array}$

zodat de Wronskiaan $W$ voldoet aan $W(t) = 1\cdot \e^{-P(t)}= \e^{-P(t)}$ .

Stel dat $y_1$ en $y_2$ lineair onafhankelijke oplossingen zijn van $y''+p(t)\cdot y'+q(t)\cdot y=0$ gedefinieerd op een interval rond $a$ . Dan kunnen we lineaire combinaties $\alpha\cdot y_1+\beta\cdot y_2$ en $\gamma\cdot y_1+\delta\cdot y_2$ vinden die voldoen aan de beginvoorwaarden uit de formulering van de stelling. Dit betekent dat altijd aan de beginvoorwaarden voor een stel oplossingen voldaan kan worden.

Lineaire algebra geeft een efficiënte methode om de constanten $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ te vinden: Aangezien $y_1$ en $y_2$ lineair onafhankelijk zijn, is hun Wronskiaan ongelijk aan $0$ , en dus is de corresponderende Wronskiaanse matrix inverteerbaar voor elke waarde van $t$ in het gegeven interval, in het bijzonder voor $t=a$ . Dit betekent dat de matrixvergelijking

$\begin{pmatrix}y_1(a)&y_2(a)\\ y_1'(a)&y_2'(a)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha&\gamma\\ \beta&\delta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}$

precies één oplossing heeft. Deze oplossing drukt de beginvoorwaarden uit voor de nieuwe lineaire combinaties.

Bereken de Wronskiaan van de functies $y_1$ en $y_2$ gedefinieerd door:
$y_1(t)=\cos ^2\left(t\right)\qquad\text{ en }\qquad y_2(t)=\cos \left(2\cdot t\right)$

$W=$ $-\sin \left(2\cdot t\right)$

We beginnen met het berekenen van de afgeleiden van $y_1$ en $y_2$ :
$\begin{array}{rcl} y_1'(t)&=&\displaystyle -2\cdot \cos \left(t\right)\cdot \sin \left(t\right)\\ y_2'(t)&=&\displaystyle -2\cdot \sin \left(2\cdot t\right)\end{array}$
Nu hebben we alle benodigde ingrediënten om de Wronskiaan te berekenen:
$\begin{array}{rcl}W (t) &=&y_1(t)\cdot y_2'(t)-y_1'(t)\cdot y_2(t)\\ & =& (\cos ^2\left(t\right))\cdot( -2\cdot \sin \left(2\cdot t\right))\\&&\phantom{x} -(-2\cdot \cos \left(t\right)\cdot \sin \left(t\right))\cdot( \cos \left(2\cdot t\right))\\ &=&\displaystyle -\sin \left(2\cdot t\right)\end{array}$

Nieuw voorbeeld