Eerder hebben al gezien hoe we een particuliere oplossing van een lineaire tweede-orde differentiaalvergelijking kunnen vinden als twee lineair onafhankelijke oplossingen van de homogene GDV hebben. Aldus is het probleem van het oplossen van een lineaire GDV van tweede orde teruggebracht tot het vinden van alle homogene oplossingen. Dit is moeilijk. Maar als we er één hebben, dan kunnen we een tweede vinden:
Stel dat #y_1# een oplossing ongelijk aan #0# is van de GDV
\[y''+p(t)\cdot y'+ q(t)\cdot y = 0\]
waarbij #p# en #q# continue functies zijn. Laat
- #P(t)# een primitieve zijn van #p(t)# en
- #c(t)# een primitieve van \(\frac{\e^{-P(t)}}{y_1^2}\).
Dan is
\[y_2(t) =c(t)\cdot y_1(t)\] een oplossing van de GDV die lineair onafhankelijk is van #y_1#.
Het is niet nodig om de formule te onthouden. Een tweede oplossing #y_2# kan gevonden worden uit de definitie van de Wronskiaan:
\[W=y_1\cdot y_2'-y_2\cdot y_1'\]
Volgens De Wronskiaan van een lineaire tweede-orde differentiaalvergelijking is de Wronskiaan bekend: #W = \e^{-P(t)}#. Ook #y_1# en haar afgeleide #y_1'# zijn bekend. De vergelijking is dus een lineaire eerste-orde GDV, waarvan bekend is hoe ze opgelost moet worden.
Omdat #W = \e^{-P(t)}# geldt, is een andere uitdrukking voor het functievoorschrift van #c' #:
\[c'(t)=\frac{W}{y_1^2}\]
Om te beginnen laten we zien dat #y_2(t) =c(t)\cdot y_1(t)# een oplossing is van de GDV. Met de som- en productregel voor differentiëren bepalen we eerst de eerste twee afgeleiden van #y_2#:
\[\begin{array}{rcl}y_2' &=& c' \cdot y_1+c\cdot y_1'\\ y_2''&=&c''\cdot y_1 + 2c'\cdot y_1' +c\cdot y_1'' \\&=& c''\cdot y_1 + 2c'\cdot y_1' -c\cdot\left (p\cdot y_1'+ q\cdot y_1\right)\end{array}\]
Substitutie van deze functievoorschriften in het linker lid van de GDV geeft
\[\begin{array}{rcl}y_2''+p\cdot y_2'+q\cdot y_2&=& c''\cdot y_1 +2c'\cdot y_1' -c\cdot\left (p\cdot y_1'+ q\cdot y_1\right)\\ &&+p\cdot (c' \cdot y_1+c\cdot y_1')+q\cdot c\cdot y_1 \\ &=& c''\cdot y_1 +2c'\cdot y_1' +p\cdot c' \cdot y_1\\ &=& c''\cdot y_1 +(2 y_1' +p\cdot y_1)\cdot c'\end{array}\]
Gegeven is #c'=\frac{\e^{-P(t)}}{y_1^2}#. Hieruit volgt met de productregel voor differentiëren
\[c'' = -2y_1'\cdot\frac{\e^{-P(t)}}{y_1^3}-p\cdot \frac{\e^{-P(t)}}{y_1^2}\]
Invullen van deze twee functievoorschriften in het vorige resultaat geeft
\[\begin{array}{rcl}y_2''+p\cdot y_2'+q\cdot y_2&=&c''\cdot y_1 +(2 y_1' +p\cdot y_1)\cdot c'\\ &=&-2y_1'\cdot\dfrac{\e^{-P(t)}}{y_1^2}-p\cdot \dfrac{\e^{-P(t)}}{y_1}\\&&+(2 y_1' +p\cdot y_1)\cdot\dfrac{\e^{-P(t)}}{y_1^2} \\&=&0\end{array}\]
Hiermee is afgeleid dat #y_2# voldoet aan de differentiaalvergelijking. We moeten nog nagaan dat #y_2# lineair onafhankelijk is van #y_1#. We maken hierbij gebruik van het Lineaire onafhankelijkheidscriterium aan de hand van de Wronskiaan #W# van #y_1# en #y_2#:
\[\begin{array}{rcl}W&=&y_1\cdot y_2'-y_2\cdot y_1'\\ &=&y_1\cdot\left( c\cdot y_1'+c'\cdot y_1\right)-y_1\cdot c\cdot y_1'\\&=&y_1^2\cdot c'\\&=&\e^{-P(t)}\\&\ne&0\end{array}\]
Omdat #W\ne0# volgt uit het criterium dat #y_1# en #y_2# lineair onafhankelijk zijn.
In de afleiding van de formule spelen twee methoden een rol. In de eerste plaats (weer) variatie van een constante omdat de constante factor #1# van de oplossing #y_1# vervangen wordt door de functie #c(t)#. In de tweede plaats het idee dat de Wronskiaan van de twee oplossingen gelijk aan #\e^{-P(t)}# gekozen kan worden, zodat #y_2# aan de eerste-orde differentiaalvergelijking #y_1\cdot y_2'-y_1'\cdot y_2=W# voldoet. Hiermee is het probleem om #y_2# te vinden gereduceerd tot het oplossen van een eerste orde vergelijking. Zo'n aanpak heet wel orde-reductie.
We gaan na wat de stelling betekent in het geval van constante coëfficiënten. We bekijken dus de homogene differentiaalvergelijking \[y''+p\cdot y'+q\cdot y=0\]
waarbij #p# en #q# constanten zijn. Laat #\lambda# een reëel getal zijn dat voldoet aan de karakteristieke vergelijking \( \lambda^2+p\cdot \lambda+q=0\). Dan is #y_1=\e^{\lambda\cdot t}# een oplossing van de GDV. In dit geval is #p\cdot t# een primitieve van de constante functie #p#.
Als #p\ne -2\lambda#, dan geldt
\[\int\frac{ \e^{-p\cdot t}}{\e^{2\lambda\cdot t}}\,\dd t=\frac{1}{-p-2\lambda}\e^{(-p-2\lambda)\cdot t}+A\]
waarbij #A# een integratieconstante is, zodat we #c(t) = \e^{(-p-2\lambda)\cdot t}# kunnen kiezen (de constante factor is niet van belang) en een tweede oplossing van de GDV is:
\[y_2=c(t)\cdot y_1 =\e^{(-p-\lambda)\cdot t}\]
Als #\mu# een tweede oplossing (naast #\lambda#) van de karakteristieke vergelijking is, dan voldoet #\mu# aan #\lambda+\mu = -p#, zodat #-p-\lambda=\mu# en #y_2=\e^{\mu\cdot t}#. Dit is in overeenstemming met de Algemene oplossing van een homogene lineaire tweede-orde GDV met constante coëfficiënten.
Hiermee is het geval van twee verschillende oplossingen van de karakteristieke vergelijking behandeld. Het geval van een enkele oplossing komt overeen met de situatie waarin #p= -2\lambda#. In dit geval is #c(t)# een primitieve van de constante functie en krijgen we #y_2=t\cdot y_1= t\cdot \e^{\lambda\cdot t}# als tweede oplossing. Ook dit stemt overeen met Algemene oplossing van een homogene lineaire tweede-orde GDV met constante coëfficiënten.
In het geval waarin er geen reële oplossingen zijn, geeft de sinus oplossing de cosinus en andersom.
Bekijk de GDV
\[ t^2\cdot y''-2\cdot t\cdot y'+2\cdot y = 0\]
met onbekende #y# gedefinieerd voor #t\gt 0#. Het is gegeven dat #y_1(t)=t^2# een oplossing is. Vind een oplossing #y_2#, zodat #y_1# en #y_2# lineair onafhankelijk zijn.
Geef je antwoord in de vorm van een functievoorschrift in #t#.
#y_2(t) =# #-t#
Om dit in te zien beginnen we met de vergelijking in standaardvorm:
\[ y''-{{2}\over{t}}\cdot y'+{{2}\over{t^2}}\cdot y = 0\]
We zoeken een tweede oplossing #y_2# die lineair onafhankelijk van #y_1# is. Uit Tweede oplossing van een homogene lineaire tweede-orde GDV volgt dat #y_2(t) = c(t) \cdot y_1(t)# een geschikte keuze is als
\[\begin{array}{rcl}
c(t) &=& \displaystyle \int \frac{\e^{ -P(t) }}{y_1(t)^2} \dd t\\
\end{array}\]
waarbij #P(t)# een primitieve van #p(t)= -{{2}\over{t}}# is. We kunnen dus #P(t)=-2\cdot \ln \left(t\right)# nemen. Invullen van
\[
\e^{-P(t)}=t^2 \qquad \text{ en } \qquad y_1=t^2
\]
in het functievoorschrift van #c# levert
\[\begin{array}{rcl}
c(t) &=&\displaystyle \int \frac{t^2}{\left(t^2\right)^2} \dd t \\
&=&\displaystyle \int {{1}\over{t^2}} \dd t \\
&=&\displaystyle -{{1}\over{t}} \\
\end{array}\]
Bijgevolg is #y_2(t)=y_1(t)\cdot c(t)=-t# een tweede oplossing.
Van één naar twee oplossingen
