Orde en graad van een GDV

Differentiaalvergelijkingen: Het begrip differentiaalvergelijking

Orde en graad van een GDV

We brengen in herinnering dat $y^{(n)}$ , de $n$ -de afgeleide van $y$ , ook wel de afgeleide van orde $n$ heet. De volgende twee termen, orde en graad, gebruiken we als maten voor de grootte van een differentiaalvergelijking.

De algemene vorm van een gewone differentiaalvergelijking voor een functie $y$ van één variabele $t$ op een zeker interval is

$\varphi(t,y,y',y'',\ldots)=0$ waarbij $\varphi$ een functie van meerdere variabelen is.

De orde van deze gewone differentiaalvergelijking is de orde van de hoogste afgeleide van $y$ die in $\varphi$ voorkomt.
Als de functie $\varphi$ een veeltermfunctie is in elk van de afgeleiden van $y$ , dan is de graad van deze gewone differentiaalvergelijking gelijk aan de graad van $\varphi$ als veelterm in de hoogste afgeleide.

Als er geen afgeleiden in de vergelijking voorkomen, dan is het een gewone vergelijking en spreken we af dat de orde $0$ is.

In plaats van GDV van orde $n$ spreken we ook van een $n$ -de orde GDV.

Bij de bepaling van de graad van een GDV van orde $n$ eisen we wel dat $\varphi(t,y,y',\ldots,y^{(n)})$ een veelterm is in $y'$ en in hogere afgeleiden, maar niet dat het een veelterm is in $y$ of in $t$ .

Als de orde van de GDV gelijk is aan $2$ , dan is $\varphi$ een functie van vier variabelen: de vergelijking heeft dan de vorm $\varphi (t,y,y',y'') = 0$ .

De differentiaalvergelijking

$y''+4\cdot y=0$ is een differentiaalvergelijking van orde twee omdat de hoogste afgeleide in de differentiaalvergelijking de tweede afgeleide $y''$ van $y$ is. De graad van deze GDV is gelijk aan $1$ omdat $\varphi(t,y,y',y'')$ een veelterm is in $y'$ en in $y''$ en omdat de hoogste afgeleide $y''$ alleen in de eerste macht voorkomt.

Vind de orde en de graad, indien gedefinieerd, van de differentiaalvergelijking

$y'''+3\cdot (y'')^2-7y'+x\cdot y = 0$

De orde is $3$
De graad is $1$

De hoogste afgeleide van $y$ die in de differentiaalvergelijking voorkomt, is ${y''' }$ . (Deze is te vinden in de term $y'''$ .) De orde is dus $3$ .

De GDV is een veeltermvergelijking in de afgeleiden van $y$ . De graad is dus gedefinieerd. De term met de hoogste graad van de GDV als veeltermvergelijking in de hoogste afgeleide $y'''$ is $y'''$ . De graad is dus $1$ .

Nieuw voorbeeld