Differentialen

Differentiaalvergelijkingen: Scheiden van variabelen

Differentialen

Een zeer suggestieve en handige manier van werken met afgeleiden van functies ontstaat door overgang op differentialen.

Differentialen

Een differentiaal is een uitdrukking van de vorm #f(x)\, \dd g(x)#, waarbij #f# en #g# functies van #x# zijn. Het is geen getal en geen functie, maar een uitdrukking die een "oneindig kleine" (infinitesimale) verandering aangeeft afhankelijk van de verandering in #g(x)#. De uitdrukking voldoet per definitie aan de wet \[f(x)\, \dd g(x) =f(x)\cdot g'(x)\,\dd x\]

Het is niet nodig de uitdrukking met #\dd# achteraan te zetten; we spreken af:

\[ \left(\dd f(x)\right)\cdot g(x)= g(x)\, \dd f(x) \]

Een vergelijking waarin de termen differentialen zijn, heet een vergelijking in differentiaalvorm.

De differentiaal #1\,\dd x# schrijven we vaak als #\dd x#, en #0\,\dd x# als #0#.

Intuïtie

Bekijk de wet \[f(x)\, \frac{\dd g(x)}{\dd x} =f(x)\cdot g'(x)\]Het overgaan op differentialen, dat wil zeggen: op \[ \left(\dd f(x)\right)\cdot g(x)= g(x)\, \dd f(x) \] kan gezien worden als vermenigvuldiging van beide leiden van de vergelijking met #\dd x#. Andersom, een gelijkheid tussen differentialen kan, door te delen door de juiste differentiaal, herleid worden tot een differentiaalvergelijking.

De differentiaalvergelijking #y' =y\cdot t+t^2#, bijvoorbeeld, waarbij #y# een functie van #t# is, kunnen we herschrijven tot de volgende vergelijking in differentiaalvorm:

\[\dd y = y\cdot t\,\dd t+t^2\cdot \dd t\]

BreukenWe kunnen #f(x)\cdot g'(x)# ook schrijven als #f(x)\cdot \frac{\dd g(x) }{\dd x}#, zodat de regel #f(x)\, \dd g(x) =f(x)\cdot g'(x)\,\dd x# met #f(x) = 1# hetzelfde zegt als \[\dd g(x) =\frac{\dd g(x)}{\dd x}\,\dd x\] Dit is te interpreteren als "je mag #\dd x# in teller en noemer tegen elkaar wegstrepen". Dit wordt nog duidelijker als we #g(x)# door #y# vervangen: #\dd y = \frac{\dd y}{\dd x} \,\dd x#.

NulDe uitdrukking #f(x)\,\dd x# achter het integraalteken #\int# in #\int f(x)\,\dd x# is een differentiaal.

Het dubbel gebruik van #0# als de gewone #0# en als #0\,\dd x# leidt niet tot verwarring, want in het algemeen kun je differentialen niet gelijk stellen aan constanten of functies. De #0# in #\dd F(x,y)=0# moet bijvoorbeeld wel als differentiaal geïnterpreteerd worden.

Met behulp van differentialen zijn de differentiatiewetten eenvoudig te formuleren:

Regels voor differentiëren in termen van differentialen

productregel: #\dd\left(f(x)\cdot g(x) \right)= \left( \dd f(x)\right)\cdot g(x)+f(x)\cdot\dd\left( g(x) \right)#
uitgebreide somregel: #\dd\left(a\cdot f(x)+b\cdot g(x) \right)= a\,\dd f(x)+b\,\dd g(x) #
kettingregel: #\dd \left(f(g(x) \right) = f'\left( g(x)\right)\,\dd g(x)#
quotiëntregel: #\dd \dfrac{f(x)}{g(x)} = \frac{\dd f(x)}{g(x)} -\frac{ f(x)\,\dd g(x)}{g(x)^2}#

In het rechter lid van de productregel hebben we # \dd\left(f(x)\right)# vóór #g(x)# gezet.

Impliciet differentiëren is ook eenvoudig te formuleren in termen van differentialen:

Impliciet differentiëren in termen van differentialen

Laat #F(x,y)# een functievoorschrift in #x# en #y# zijn. Als #C# een constante is en #F(x,y) = C#, dan geldt ook #\dd F(x,y)=0#.

Bij wijze van voorbeeld bekijken we de cirkel om de oorsprong met straal #1# in het #x,y#-vlak. Deze wordt bepaald door de vergelijking \[x^2+y^2=1\]

Nemen we links en rechts de differentiaal, dan vinden we #2x\,\dd x+2y\,\dd y = 0#, wat na deling door #2# geeft

\[x\,\dd x+y\,\dd y = 0\]

Elke cirkel om de oorsprong is een oplossingskromme van deze vergelijking in differentiaalvorm.

Ook integralen zijn te formuleren in termen van differentialen:

Integratie in termen van differentialen

Als #f(x)\,\dd x=\dd\, F(x)#, dan geldt #F(x) =\int f(x)\,\dd x#.

De differentiaalvergelijking \[\frac{\dd}{\dd t} y=3t^2\] is in differentiaalvorm (vermenigvuldig links en rechts met #\dd t#) gelijk aan \[\dd y=3t^2\,\dd t\] De rechterkant van deze vergelijking is ook te schrijven als \(\dd(t^3)\), want \(t^3\) is een primitieve van \(3t^2\). We hebben dus een gelijkheid tussen twee differentialen: \[\dd y=\dd(t^3)\] De functies ‘achter de d's’ zijn dus op een constante na aan elkaar gelijk: \[y=\int \,\dd y=\int\,\dd(t^3) = t^3+C\] voor zekere constante \(C\).

Algemener: als #f(x)\,\dd g(x)=\dd\, F(x)#, dan geldt #F(x) =\int f(x)\,g'(x)\dd x#.

De integratieconstanten aan linker en rechter zijde geven geen nieuwe oplossingen en kunnen daarom ondergebracht worden in één integratieconstante. Dit is in de formule #F(x) =\int f(x)\,\dd x# eigenlijk al gedaan omdat de integraal rechts van het gelijkheidsteken een functie tot op een constante na beschrijft.