Differentialen

Differentiaalvergelijkingen: Scheiden van variabelen

Differentialen

Een zeer suggestieve en handige manier van werken met afgeleiden van functies ontstaat door overgang op differentialen.

Differentialen

Een differentiaal is een uitdrukking van de vorm $f(x)\, \dd g(x)$ , waarbij $f$ en $g$ functies van $x$ zijn. Het is geen getal en geen functie, maar een uitdrukking die een "oneindig kleine" (infinitesimale) verandering aangeeft afhankelijk van de verandering in $g(x)$ . De uitdrukking voldoet per definitie aan de wet

$f(x)\, \dd g(x) =f(x)\cdot g'(x)\,\dd x$

Het is niet nodig de uitdrukking met $\dd$ achteraan te zetten; we spreken af:

$\left(\dd f(x)\right)\cdot g(x)= g(x)\, \dd f(x)$

Een vergelijking waarin de termen differentialen zijn, heet een vergelijking in differentiaalvorm.

De differentiaal $1\,\dd x$ schrijven we vaak als $\dd x$ , en $0\,\dd x$ als $0$ .

Intuïtie

Bekijk de wet

$f(x)\, \frac{\dd g(x)}{\dd x} =f(x)\cdot g'(x)$ Het overgaan op differentialen, dat wil zeggen: op

$\left(\dd f(x)\right)\cdot g(x)= g(x)\, \dd f(x)$ kan gezien worden als vermenigvuldiging van beide leiden van de vergelijking met $\dd x$ . Andersom, een gelijkheid tussen differentialen kan, door te delen door de juiste differentiaal, herleid worden tot een differentiaalvergelijking.

De differentiaalvergelijking $y' =y\cdot t+t^2$ , bijvoorbeeld, waarbij $y$ een functie van $t$ is, kunnen we herschrijven tot de volgende vergelijking in differentiaalvorm:

$\dd y = y\cdot t\,\dd t+t^2\cdot \dd t$

We kunnen $f(x)\cdot g'(x)$ ook schrijven als $f(x)\cdot \frac{\dd g(x) }{\dd x}$ , zodat de regel $f(x)\, \dd g(x) =f(x)\cdot g'(x)\,\dd x$ met $f(x) = 1$ hetzelfde zegt als

$\dd g(x) =\frac{\dd g(x)}{\dd x}\,\dd x$ Dit is te interpreteren als "je mag $\dd x$ in teller en noemer tegen elkaar wegstrepen". Dit wordt nog duidelijker als we $g(x)$ door $y$ vervangen: $\dd y = \frac{\dd y}{\dd x} \,\dd x$ .

De uitdrukking $f(x)\,\dd x$ achter het integraalteken $\int$ in $\int f(x)\,\dd x$ is een differentiaal.

Het dubbel gebruik van $0$ als de gewone $0$ en als $0\,\dd x$ leidt niet tot verwarring, want in het algemeen kun je differentialen niet gelijk stellen aan constanten of functies. De $0$ in $\dd F(x,y)=0$ moet bijvoorbeeld wel als differentiaal geïnterpreteerd worden.

Met behulp van differentialen zijn de differentiatiewetten eenvoudig te formuleren:

Regels voor differentiëren in termen van differentialen

productregel: $\dd\left(f(x)\cdot g(x) \right)= \left( \dd f(x)\right)\cdot g(x)+f(x)\cdot\dd\left( g(x) \right)$
uitgebreide somregel: $\dd\left(a\cdot f(x)+b\cdot g(x) \right)= a\,\dd f(x)+b\,\dd g(x)$
kettingregel: $\dd \left(f(g(x) \right) = f'\left( g(x)\right)\,\dd g(x)$
quotiëntregel: $\dd \dfrac{f(x)}{g(x)} = \frac{\dd f(x)}{g(x)} -\frac{ f(x)\,\dd g(x)}{g(x)^2}$

In het rechter lid van de productregel hebben we $\dd\left(f(x)\right)$ vóór $g(x)$ gezet.

Impliciet differentiëren is ook eenvoudig te formuleren in termen van differentialen:

Impliciet differentiëren in termen van differentialen

Laat $F(x,y)$ een functievoorschrift in $x$ en $y$ zijn. Als $C$ een constante is en $F(x,y) = C$ , dan geldt ook $\dd F(x,y)=0$ .

Bij wijze van voorbeeld bekijken we de cirkel om de oorsprong met straal $1$ in het $x,y$ -vlak. Deze wordt bepaald door de vergelijking

$x^2+y^2=1$

Nemen we links en rechts de differentiaal, dan vinden we $2x\,\dd x+2y\,\dd y = 0$ , wat na deling door $2$ geeft

$x\,\dd x+y\,\dd y = 0$

Elke cirkel om de oorsprong is een oplossingskromme van deze vergelijking in differentiaalvorm.

Ook integralen zijn te formuleren in termen van differentialen:

Integratie in termen van differentialen

Als $f(x)\,\dd x=\dd\, F(x)$ , dan geldt $F(x) =\int f(x)\,\dd x$ .

De differentiaalvergelijking

$\frac{\dd}{\dd t} y=3t^2$ is in differentiaalvorm (vermenigvuldig links en rechts met $\dd t$ ) gelijk aan

$\dd y=3t^2\,\dd t$ De rechterkant van deze vergelijking is ook te schrijven als $\dd(t^3)$ , want $t^3$ is een primitieve van $3t^2$ . We hebben dus een gelijkheid tussen twee differentialen:

$\dd y=\dd(t^3)$ De functies ‘achter de d's’ zijn dus op een constante na aan elkaar gelijk:

$y=\int \,\dd y=\int\,\dd(t^3) = t^3+C$ voor zekere constante $C$ .

Algemener: als $f(x)\,\dd g(x)=\dd\, F(x)$ , dan geldt $F(x) =\int f(x)\,g'(x)\dd x$ .

De integratieconstanten aan linker en rechter zijde geven geen nieuwe oplossingen en kunnen daarom ondergebracht worden in één integratieconstante. Dit is in de formule $F(x) =\int f(x)\,\dd x$ eigenlijk al gedaan omdat de integraal rechts van het gelijkheidsteken een functie tot op een constante na beschrijft.