Lineaire GDV's

Differentiaalvergelijkingen: Het begrip differentiaalvergelijking

Lineaire GDV's

Aan het volgende type differentiaalvergelijking zullen we veel aandacht besteden.

Laat $\varphi(t,y,y',y'',\ldots)=0$ een gewone differentiaalvergelijking in de onbekende functie $y$ van één variabele $t$ zijn.

De differentiaalvergelijking heet lineair als de functie $\varphi$ geschreven kan worden als een som van termen die ofwel een functie van $t$ zijn ofwel een product van een functie van $t$ met $y$ of één van haar (hogere) afgeleiden. Anders noemt men de GDV niet-lineair.
Een lineaire differentiaalvergelijking heet homogeen als elke term in de vergelijking een veelvoud van $y$ of een afgeleide van $y$ is. Anders heet de lineaire GDV niet-homogeen of inhomogeen.

De eerste-orde GDV

$\frac{\dd y}{\dd t}=t\cdot y$ kan geschreven worden als

$\varphi(t,y,y')=0$ met $\varphi(u,v,w)=u\cdot v-w$ . Ze is een homogene lineaire differentiaalvergelijking van orde 1 en graad 1.
De GDVs

$y'-y^2=0\quad\text{en}\quad y'-y-1=0$ zijn voorbeelden van eerste-orde differentiaalvergelijkingen van graad 1.
De GDV

$(y'')^3-y^2=0$ is een voorbeeld van een tweede-orde differentiaalvergelijking van graad 3.
De GDV

$(y'')^3-y\cdot y'=0$ is een voorbeeld van een niet-lineaire tweede-orde differentiaalvergelijking van graad 3.

Een lineaire differentiaalvergelijking van orde $3$ heeft de vorm

$a_3(t)\cdot y'''+a_2(t)\cdot y''+a_1(t)\cdot y'+a_0(t)\cdot y +b(t)=0$

waarbij $a_3$ , $a_2$ , $a_1$ , $a_0$ en $b$ functies zijn. Deze GDV is homogeen dan en slechts dan als $b=0$ .

De volgende uitspraak verklaart de term "lineair" voor een GDV en helpt bij het oplossen ervan.

Lineaire structuur van lineaire GDV's

Laat $a_0(t),a_1(t),\ldots,a_n(t)$ en $b(t)$ continue functies zijn met $a_n(t)\ne0$ , zodat

$a_n(t)\cdot y^{(n)}+\cdots+a_2(t)\cdot y''+a_1(t)\cdot y'+a_0(t)\cdot y +b(t)=0$

een lineaire differentiaalvergelijking van orde $n$ is. Deze vergelijking is dus dan en slechts dan homogeen als $b(t)=0$ .

Stel dat $y_{\text{part}}$ een oplossing van deze vergelijking is. Dan heeft elke andere oplossing de vorm

$u+y_{\text{part}}$ waarbij $u$ een oplossing van de bijbehorende homogene GDV is (dat wil zeggen: met $b(t)$ vervangen door $0$ ).

We noemen de oplossing $y_{\text{part}}$ een particuliere oplossing van de GDV.

Als $b(t)=0$ , dan is de verzameling oplossingen lineair in de volgende zin:

De constante functie $u=0$ is een oplossing.
Als $\alpha$ en $\beta$ reële getallen zijn en $u$ en $v$ zijn oplossingen van de homogene GDV, dan ook $\alpha\cdot u+\beta\cdot v.$

Voor de kenners van lineaire algebra: lineariteit van de homogene vergelijking

$a_n(t)\cdot y^{(n)}+\cdots+a_2(t)\cdot y''+a_1(t)\cdot y'+a_0(t)\cdot y =0$

betekent dat de verzameling oplossingen een lineaire deelruimte is van de vectorruimten van alle differentieerbare functies. In het algemeen is de dimensie van deze vectorruimte $n$ -dimensionaal, zodat elke oplossing een unieke lineaire combinatie is van $n$ verschillende oplossingen.

De oplossingen van de oorspronkelijke (mogelijk inhomogene) vergelijking vormen een affiene deelruimte met steunpunt de particuliere oplossing $y_{\text{part}}$ .

Als de oorspronkelijke GDV al homogeen is, dan kunnen we als particuliere oplossing $y_{\text{part}}=0$ nemen.

We geven afleiding van de belangrijkste stappen voor het geval $n=2$ . Het algemene geval is niet essentieel moeilijker, maar leidt tot meer schrijfwerk. De lineaire eigenschappen leiden we af uit de volgende berekening voor het linker lid van de vergelijking voor $y=\alpha \cdot u+\beta\cdot v$ voor twee reële getallen $\alpha$ , $\beta$ en twee functies $u$ , $v$ :

$\begin{array}{rcl} {\small \phantom{xx}}&&a_2(t)\cdot y''+a_1(t)\cdot y'+a_0(t)\cdot y \\ &&= a_2(t)\cdot \left(\alpha \cdot u''+\beta\cdot v''\right)\\ &&\phantom{xx}+a_1(t)\cdot\left(\alpha \cdot u'+\beta\cdot v'\right)+a_0(t)\cdot \left(\alpha \cdot u+\beta\cdot v\right) +b(t)\\ &&= a_2(t)\cdot \alpha \cdot u''+a_2(t)\cdot \beta\cdot v''+a_1(t)\cdot\alpha \cdot u'+a_1(t)\cdot\beta\cdot v' \\ &&\phantom{xx}+a_0(t)\cdot \alpha \cdot u+a_0(t)\cdot \beta\cdot v +b(t)\\ &&= a_2(t)\cdot \alpha \cdot u''+a_1(t)\cdot\alpha \cdot u'+a_0(t)\cdot \alpha \cdot u\\ &&\phantom{xx}+a_2(t)\cdot \beta\cdot v''+a_1(t)\cdot\beta\cdot v'+a_0(t)\cdot \beta\cdot v +b(t)\\ &&= \alpha\cdot\left(a_2(t) \cdot u''+a_1(t)\cdot u'+a_0(t) \cdot u\right)\\ &&\phantom{xx}+\beta\cdot\left(a_2(t)\cdot v''+a_1(t)\cdot v'+a_0(t)\cdot v \right)+b(t) \end{array}$

Als $\alpha=\beta=1$ en $v=y_{\text{part}}$ , dan is de onderste regel gelijk aan $0$ . Dit laat zien dat $y= u+y_{\text{part}}$ dan en slechts dan een oplossing is van de GDV als $u$ een oplossing is van de homogene vergelijking.

Als $b(t)=0$ en $u$ en $v$ zijn beide oplossingen van de homogene vergelijking, dan zijn de twee onderste regels gelijk aan $0$ , zodat $y=\alpha \cdot u+\beta\cdot v$ ook een oplossing is van de homogene vergelijking.

Om een particuliere oplossing $y_{\text{part}}$ van een lineaire GDV te vinden, kunnen we extra aannames maken die de zoektocht vereenvoudigen. We moeten dan wel nagaan dat de gevonden oplossingen aan die aannames voldoen. Hieronder staan enkele voorbeelden. Voor de oplossing van de bijbehorende homogene vergelijking, althans voor orde $1$ en in speciale gevallen voor orde $2$ , zullen we later een algemene methode behandelen.

Hieronder staat de differentiaalvergelijking van Legendre:

$\left(1-x^2\right)\cdot \left({{\dd ^2}\over{\dd x^2}}\cdot y\right)-2\cdot x\cdot \left({{\dd }\over{\dd x}}\cdot y\right)-\mu\cdot y=0$
Het is een tweede-orde vergelijking van graad $1$ . Is deze GDV lineair?

ja

Vervangen we $y'$ door $u$ en $y''$ door $v$ , dan wordt het linker lid van de vergelijking

$-\mu\cdot y+v\cdot \left(1-x^2\right)-2\cdot u\cdot x$
Dit is een lineaire uitdrukking in de variabelen $y$ , $u$ en $v$ . Daarom is de GDV lineair.

Nieuw voorbeeld