In dit hoofdstuk hebben we differentiaalvergelijkingen besproken. De focus op dit algemene onderwerp was al gauw toegespitst op het geval van één onbekende functie (op Stelsels van twee gekoppelde lineaire vergelijkingen aan het einde na). We hebben ons voornamelijk geconcentreerd op lineaire differentiaalvergelijkingen van lage orde.

Zodra één oplossing van een lineaire GDV gevonden is, volstaat het om alle oplossingen van de bijbehorende homogene vergelijking te vinden. Omdat de oplossingen van een homogene lineaire differentiaalvergelijking een vectorruimte vormen, is het zelfs voldoende het om precies zoveel lineair onafhankelijke vergelijkingen te vinden als de orde van de GDV bedraagt. In het geval van lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten bestaat er een goede oplosmethode, waarvan we alleen de gevallen van orde #1# en #2# hebben behandeld. De correspondentie tussen twee gekoppelde lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde en lineaire tweede-orde GDV's zet door naar hogere ordes, maar daar zijn we niet op ingegaan.

In de gevallen van orde #1# en orde #2# hebben we een uniciteitsstelling geformuleerd (maar niet bewezen). Hierin staat dat er, onder milde condities, een unieke specifieke oplossing bestaat met één beginvoorwaarde bij de eerste orde en twee beginvoorwaarden in hetzelfde punt bij de tweede orde: één voor de waarde van #y# en één voor de waarde van #y'# in dat punt.

Voor een willekeurige lineaire eerste-orde differentiaalvergelijking hebben we aangegeven hoe je de algemene oplossing kunt bepalen met behulp van twee integraties. Voor een willekeurige lineaire tweede-orde GDV is dat niet gelukt. Wel hebben we methoden aangegeven om, bij een gegeven oplossing van de bijbehorende homogene vergelijking, een tweede, er van lineair onafhankelijke, oplossing te vinden, en om met deze kennis een particuliere oplossing te vinden (door middel van variatie van constanten). Zodra één homogene oplossing gevonden is, kunnen we dus de algemene oplossing beschrijven.

We zijn ook wat nader ingegaan op niet-lineaire vergelijkingen van eerde orde en eerste graad. Zo hebben we enkele algemene strategieën besproken om inzicht te krijgen in de oplossingen zonder ze meteen op te schrijven; de belangrijkste betreft het richtingsveld. Ook hebben we laten zien hoe je een vermoeden (Ansatz) kunt doen over de vorm van een oplossing (bijvoorbeeld: veelterm, of lineaire combinatie van een aantal goniometrische functies) op grond van de GDV en vervolgens die vorm, waarin parameters voorkomen, invullen in de GDV om vergelijkingen in termen van de parameters te krijgen. Oplossingen van deze vergelijkingen in de parameters leiden tot oplossingen van de GDV. Voor speciale eerst-orde GDV's van eerste graad hebben we ook nog scheiding van variabelen en integrerende factoren besproken.

Hiermee is een aantal basismethoden besproken. Dit hoofdstuk is een goed begin voor de verdere studie van niet alleen gewone differentiaalvergelijkingen, maar ook van partiële differentiaalvergelijkingen: een uitgebreid onderwerp waarbij meerdere variabelen en vaak ook meerdere functies optreden in een stelsel differentiaalvergelijkingen. De gekoppelde lineaire vergelijkingen waren daar maar een klein voorbeeld van.

Voor de behandeling van lineaire vergelijkingen van hogere orde (zoals gezegd: in het geval van constante coëfficiënten is er een goede oplosmethode), bevelen we Lineaire algebra als voorbereiding aan.