Differentiaalvergelijkingen: Lineaire tweede-orde differentiaalvergelijkingen
De Ansatz
In Algemene oplossing van een homogene lineaire tweede-orde GDV met constante coëfficiënten hebben we behandeld hoe we een homogene lineaire tweede-orde differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten kunnen oplossen. Om een willekeurige (inhomogene) lineaire tweede-orde differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten op te lossen, is, vanwege de stelling Lineaire structuur van lineaire GDV's, alleen nog een particuliere oplossing nodig. Immers, de algemene oplossing van een niet-homogene differentiaalvergelijking kan geschreven worden als \[ y = y_{\rm part} + y_{\rm hom} \] waarbij #y_{\rm part}# een particuliere oplossing van de vergelijking is en #y_{\rm hom}# de algemene oplossing van de bijbehorende homogene vergelijking is.
Later, bij Variatie van constanten, zullen we een methode beschrijven om, uitgaande van de algemene homogene oplossing, een particuliere oplossing te vinden. Deze methode is bewerkelijk. Dit is een van de redenen om onderstaande aanpak te bespreken. Deze aanpak biedt niet in alle gevallen een garantie voor succes, maar is recht toe recht aan en kan ook bij andere differentiaalvergelijkingen dan lineaire tweede-orde GDV's geprobeerd worden.
Ansatz-methode
Bekijk de lineaire differentiaalvergelijking van tweede orde \[ a(t) \cdot y'' + b(t) \cdot y' + c(t) \cdot y = g(t) \] waarbij #a#, #b#, #c# en #g# continue functies zijn.
Om een particuliere oplossing van de GDV te vinden kunnen we een inschatting maken van de mogelijke vorm van de oplossing, in termen van een functievoorschrift voorzien van parameters. Zo'n mogelijke vorm van een oplossing heet een Ansatz. Het invullen van de Ansatz in de GDV levert een stelsel vergelijkingen in de parameters. Een oplossing van dit stelsel geeft dan waarden van de parameters waarvoor de Ansatz een particuliere oplossing van de GDV wordt.
Het woord Ansatz komt uit het Duits maar wordt in vele talen gebruikt. Het betekent "startpunt" of "poging". De Ansatz bestaat hier dus uit een aanname van de vorm van de oplossing. De methode heet ook wel Methode van onbepaalde coëfficiënten.
Het is natuurlijk mogelijk dat het stelsel vergelijkingen met als onbekenden de parameters in de Ansatz geen oplossing heeft. Dan heeft de GDV geen oplossingen van de door de Ansatz gesuggereerde vorm.
We bespreken hier vier bijzondere gevallen. Het is niet nodig de precieze condities te onthouden. Het gaat erom een indruk te geven van de oplossingsstrategie.
Ansatz-voorbeelden voor lineaire tweede-orde GDV's
Bekijk een lineaire differentiaalvergelijking van tweede orde \[ y'' + p \cdot y' + q\cdot y = g(t) \] waarbij #p# en #q# constanten zijn en #g# een continue functie is.
- Als #g(t)# een veelterm van graad #n\ge0# is en #q\ne0#, dan is er een particuliere oplossing #y_{\rm part}# die een veelterm is van graad #n#.
- Als \(g(t)= g_0 \cdot \e^{k\cdot t}\), waarbij #g_0# en #k# constanten zijn, zodat #k# geen oplossing is van de karakteristieke vergelijking #\lambda^2+p\cdot \lambda +q=0#, dan is er een particuliere oplossing van de vorm \[y_{\rm part}(t) = A\cdot \e^{k\cdot t}\]
- Als \(g(t)= g_0 \cdot \e^{k\cdot t}\), waarbij #g_0# een constante is en #k# een oplossing maar niet de enige oplossing is van de karakteristieke vergelijking #\lambda^2+p\cdot \lambda +q=0#, dan is er een particuliere oplossing van de vorm \[y_{\rm part}(t) = A\cdot t\cdot \e^{k\cdot t}\]
- Als \(g(t)=g_0\cdot \cos(\beta\cdot t)+g_1 \cdot\sin(\beta\cdot t)\), waarbij #g_0#, #g_1# en #\beta# constanten zijn met #\beta\ne0# en als #p\ne0#, dan is er een particuliere oplossing van de vorm \[ y_{\rm part}(x) = A \cdot\cos (\beta\cdot t) + B\cdot \sin (\beta\cdot t) \]
#y(t) =# #-t^2+3 t-3#
Omdat #g(t)=t^2+t+1# een veelterm van graad #2# is, zoeken we een particuliere oplossing van de vorm: \[y(t) = a_{2}\cdot t^2+a_{1}\cdot t+a_{0}\]
De eerste twee afgeleiden van #y# zijn #y'(t) = 2\cdot a_{2}\cdot t+a_{1}# en #y''(t) = 2\cdot a_{2}#. Als we deze functievoorschriften in de differentiaalvergelijking substitueren, krijgen we:
\[\begin{array}{rcl}
-2 y'' -2 y' -y&=&t^2+t+1 \\
\color{blue}{\text{de differentiaalvergelijking}}&& \\
-2\cdot \left(2\cdot a_{2} \right) -2\cdot (2\cdot a_{2}\cdot t+a_{1}) -(a_{2}\cdot t^2+a_{1}\cdot t+a_{0}) &=& t^2+t+1 \\
\color{blue}{\text{functies gesubstitueerd}}&& \\
-a_{2}\cdot t^2+\left(-4\cdot a_{2}-a_{1}\right)\cdot t-4\cdot a_{2}-2\cdot a_{1}-a_{0} &=& t^2+t+1 \\
\color{blue}{\text{geschreven in standaard veelterm-vorm}}&&
\end{array}\]
Veeltermen zijn dan en slechts dan gelijk als hun coëfficiënten gelijk zijn, dus:
\[ -a_{2}=1 \qquad\quad -4\cdot a_{2}-a_{1}=1\qquad\quad -4\cdot a_{2}-2\cdot a_{1}-a_{0}=1\]
De oplossing van dit systeem is:
\[ a_2 = -1 \qquad\quad a_1= 3 \qquad\quad a_0 = -3 \]
Een particuliere oplossing is daarom
\[y(t) = -t^2+3 t-3\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.