Definitie van een kans

Hoofdstuk 3: Kansrekening: Kansrekening

Definitie van een kans

In de alledaagse taal worden kansen vaak uitgedrukt als percentages. Denk bijvoorbeeld aan hoe weerberichten de kans op buien en zon vermelden:

Binnen de statistiek worden kansen echter uitgedrukt als een decimaal getal tussen de #0# en #1#.

Kans
De kans op een gebeurtenis is de waarschijnlijkheid dat de gebeurtenis zal optreden, uitgedrukt als een getal tussen de #0# en #1#.

Als de kans op een gebeurtenis #A# gelijk is aan #p#, dan wordt dit geschreven als:
\[\mathbb{P}(A) = p\]

De kans op een gebeurtenis #A# wordt berekend door het aantal uitkomsten die onder #A# vallen te delen door het totaal aantal uitkomsten in de uitkomstenruimte:
\[\mathbb{P}(A) = \cfrac{\text{aantal uitkomsten in }A}{\text{totaal aantal uitkomsten}}\]

Regels

De kans op een gebeurtenis #A#, #\mathbb{P}(A)#, ligt altijd tussen de #0# en #1#:
\[0\leq \mathbb{P}(A) \leq 1\] Wanneer de kans op een gebeurtenis gelijk is aan #0#, dan weten we met zekerheid dat gebeurtenis niet zal optreden.

Wanneer de kans op een gebeurtenis gelijk is aan #1#, dan weten we met zekerheid dat gebeurtenis wel zal optreden.
De som van de kansen op alle mogelijke uitkomsten van een kansexperiment is altijd gelijk aan #1#.

Dat wil zeggen, als de uitkomstenruimte gelijk is aan #\Omega = \{x_1, x_2, x_3, \ldots \}#, dan:
\[\sum_{\text{alle }x \text{ in }\Omega}\mathbb{P}(x)=1\]

Stel je een kansexperiment voor waarbij we één keer een muntje opgooien.

Als we gebeurtenis #A# definiëren als 'Kop komt boven', wat is dan de kans op #A#?

De uitkomstenruimte van dit experiment is:
\[\Omega =\{\text{K, M}\}\]
De uitkomst behorende bij gebeurtenis #A# is:
\[A=\text{'Kop komt boven'}=\{\text{K}\}\]
Dus, de kans dat #A# die zich voordoet is:
\[\mathbb{P}(A)=\cfrac{\text{aantal resultaten geclassificeerd als 'Kop komt boven'}}{\text{totaal aantal mogelijke uitkomsten}}=\cfrac{1}{2}=0.5\]

Nieuw voorbeeld