Definitie van een kans

Hoofdstuk 3: Kansrekening: Kansrekening

Definitie van een kans

In de alledaagse taal worden kansen vaak uitgedrukt als percentages. Denk bijvoorbeeld aan hoe weerberichten de kans op buien en zon vermelden:

Binnen de statistiek worden kansen echter uitgedrukt als een decimaal getal tussen de $0$ en $1$ .

De kans op een gebeurtenis is de waarschijnlijkheid dat de gebeurtenis zal optreden, uitgedrukt als een getal tussen de $0$ en $1$ .

Als de kans op een gebeurtenis $A$ gelijk is aan $p$ , dan wordt dit geschreven als:
$\mathbb{P}(A) = p$

De kans op een gebeurtenis $A$ wordt berekend door het aantal uitkomsten die onder $A$ vallen te delen door het totaal aantal uitkomsten in de uitkomstenruimte:
$\mathbb{P}(A) = \cfrac{\text{aantal uitkomsten in }A}{\text{totaal aantal uitkomsten}}$

Regels

De kans op een gebeurtenis $A$ , $\mathbb{P}(A)$ , ligt altijd tussen de $0$ en $1$ :
$0\leq \mathbb{P}(A) \leq 1$ Wanneer de kans op een gebeurtenis gelijk is aan $0$ , dan weten we met zekerheid dat gebeurtenis zal optreden.

Wanneer de kans op een gebeurtenis gelijk is aan $1$ , dan weten we met zekerheid dat gebeurtenis wel zal optreden.
De som van de kansen op alle mogelijke uitkomsten van een kansexperiment is altijd gelijk aan $1$ .

Dat wil zeggen, als de uitkomstenruimte gelijk is aan $\Omega = \{x_1, x_2, x_3, \ldots \}$ , dan:
$\sum_{\text{alle }x \text{ in }\Omega}\mathbb{P}(x)=1$

Stel je een kansexperiment voor waarbij we één keer een muntje opgooien.

Als we gebeurtenis $A$ definiëren als 'Kop komt boven', wat is dan de kans op $A$ ?

De uitkomstenruimte van dit experiment is:
$\Omega =\{\text{K, M}\}$
De uitkomst behorende bij gebeurtenis $A$ is:
$A=\text{'Kop komt boven'}=\{\text{K}\}$
Dus, de kans dat $A$ die zich voordoet is:
$\mathbb{P}(A)=\cfrac{\text{aantal resultaten geclassificeerd als 'Kop komt boven'}}{\text{totaal aantal mogelijke uitkomsten}}=\cfrac{1}{2}=0.5$

Nieuw voorbeeld