Kans op het complement van een gebeurtenis

Hoofdstuk 3: Kansrekening: Kansrekening

Kans op het complement van een gebeurtenis

Naast het berekenen van de kans dat een gebeurtenis $A$ zal plaatsvinden, kun je ook de kans berekenen dat $A$ niet zal plaatsvinden. Met andere woorden: de kans dat het complement van A plaatsvindt.

De complementregel stelt dat de kans op een gebeurtenis $A$ plus de kans op het complement van $A$ altijd gelijk is aan $1$ :

$\mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(A^c) = 1$

Deze regel kan op de volgende twee manieren herschreven worden:

$\begin{array}{rcl} \mathbb{P}(A^c) &=& 1 - \mathbb{P}(A)\\\\ \mathbb{P}(A) &=& 1 - \mathbb{P}(A^c) \end{array}$

Stel je een kansexperiment voor waarbij we één enkele dobbelsteen gooien en het aantal ogen tellen.

Wat is de kans dat we $6$ gooien?

$\mathbb{P}(A^c) = \cfrac{5}{6}$

De uitkomstenruimte van het experiment is:

$\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$

Voor dit experiment stellen we volgende definities op:

$A =$ 'er is een $6$ gegooid' $= \{6\}$
$A^c =$ 'er is geen $6$ gegooid $= \{1, 2, 3, 4, 5\}$

Om de kans op het complement $\mathbb{P}(A^c)$ te berekenen, berekenen we eerst de kans dat gebeurtenis $A$ voorkomt:

$\mathbb{P}(A) = \cfrac{\text{aantal uitkomsten geclassificeerd als }A}{\text{totaal aantal mogelijke uitkomsten}}=\cfrac{1}{6}$

Nu dat de kans op gebeurtenis $A$ bekend is, kunnen we de complementregel toepassen om de kans op het complement van $A$ berekenen:

$\mathbb{P}(A^c)=1-\mathbb{P}(A)=1-\cfrac{1}{6}=\cfrac{5}{6}$

Nieuw voorbeeld