Conditionele kans

Hoofdstuk 3: Kansrekening: Kansrekening

Conditionele kans

Wanneer we voor een kansexperiment meerdere gebeurtenissen definiëren, dan kan het zo zijn dat het plaatsvinden van één gebeurtenis de kans op een andere gebeurtenis beïnvloedt.

Gebeurtenissen die elkaar beïnvloeden
Stel je een kansexperiment voor waarbij we één enkele dobbelsteen opgooien. Voor dit experiment definiëren we de volgende gebeurtenissen:

$A =$ 'er is een even getal gegooid' $=\{2,4,6\}$
$B =$ 'er is een getal $\geq 4$ gegooid' $=\{4,5,6\}$

In dit geval beïnvloedt het wel of niet plaatsvinden van gebeurtenis $A$ de kans op gebeurtenis $B$ :

Als we weten dat er een getal gegooid is, dan bestaat er een kans van $\cfrac{2}{3}$ dat het getal groter of gelijk is aan $4$ .
Als we weten dat er een getal gegooid is, dan bestaat er een kans van $\cfrac{1}{3}$ dat het getal groter of gelijk is aan $4$ .

$\text{}$

Conditionele kans

Definitie

De kans op gebeurtenis $A$ , gegeven de voorwaarde dat gebeurtenis $B$ al heeft plaatsgevonden, wordt de conditionele of voorwaardelijke kans van $A$ gegeven $B$ genoemd.

Notatie

$\mathbb{P}(A\,|\,B)$

Regels voor conditionele kansen
Voor conditionele kansen gelden de volgende rekenregels:

De kans op $A$ gegeven $B$ is gelijk aan de kans op $A$ EN $B$ , gedeeld door de kans op $B$ : $\mathbb{P}(A|B)=\cfrac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}$
Zodra gebeurtenis $A$ optreedt, is het zeker dat gebeurtenis $A$ zal optreden: $\mathbb{P}(A|A)=1$
Als $A$ en $B$ wederzijds exclusief zijn, dan: $\mathbb{P}(A|B)=0$

In totaal worden $100$ studenten, $40$ mannen en $60$ vrouwen, gevraagd of zij links- of rechtshandig zijn. De resultaten van het onderzoek laten zien dat er onder deze $100$ studenten in totaal $12$ linkshandige studenten zijn, $4$ mannen en $8$ vrouwen.

Als we een willekeurig persoon uit deze groep studenten selecteren, wat is dan de kans dat deze student linkshandig is, gegeven de kennis dat de student een vrouw is?

$\mathbb{P}(\text{Vrouw} \, | \, \text{Linkshandig})=0.133$

We definiëren de volgende gebeurtenissen:

$A =$ 'de geselecteerde student is linkshandig'
$B =$ 'de geselecteerde student is een vrouw'

De kans dat een willekeurig geselecteerde student linkshandig is, gegeven dat deze student een vrouw is, komt dan overeen met de volgende conditionele kans:

$\mathbb{P}(A|B) = \dfrac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}$

De kansen die we nodig hebben voor deze berekening:

$\mathbb{P}(A \cap B) = \dfrac{\text{aantal linkshandige vrouwelijke studenten}}{\text{totaal aantal studenten}}=\dfrac{8}{100}=0.08$
$\mathbb{P}(B) = \dfrac{\text{aantal vrouwelijke studenten}}{\text{totaal aantal studenten}} = \dfrac{60}{100}=0.60$

Het invullen van deze waarden in de formule voor het berekenen van de conditionele kans geeft:

$\mathbb{P}(A|B)=\cfrac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}=\dfrac{0.08}{0.60}=0.133$

Nieuw voorbeeld