Hoofdstuk 3: Kansrekening: Kansrekening
Kans op de doorsnede van twee gebeurtenissen
Kans op de doorsnede
Voor het berekenen van de kans op de doorsnede van twee gebeurtenissen, gelden de volgende rekenegels:
- De kans dat gebeurtenissen #A# en #B# beiden plaatsvinden is gelijk aan de kan dat gebeurtenis #A# plaatsvindt vermenigvuldigd met de kans dat gebeurtenis #B# plaatsvindt, gegeven dat #A# plaatsvindt: \[\mathbb{P}(A\cap B) = \mathbb{P}(A) \cdot \mathbb{P}(B|A)\]
- Als #A# en #B# onafhankelijk zijn, dan versimpelt de bovenstaande vergelijking tot: \[\mathbb{P}(A\cap B) = \mathbb{P}(A) \cdot \mathbb{P}(B)\]
Stel je een kansexperiment voor waarbij we twee dobbelstenen gooien.
Als we gebeurtenis #A# definiëren als #A =# 'er is minstens één #6# gegooid', wat is dan de kans op #A#?
#\mathbb{P}(A) =\dfrac{11}{36}#
Eén van de manieren om de kans op 'minstens één #6#' te berekenen, is door gebruik te maken van de complementregel:
\[\mathbb{P}(A) = 1 − \mathbb{P}(A^c)\]
Het complement van #A# is in dit geval de gebeurtenis waarbij er geen enkele #6# gegooid wordt.
Om de kans op dit complement te berekenen, definiëren we de volgende gebeurtenissen:
- #B_1=# 'de eerste worp is geen #6#'
- #B_2=# 'de tweede worp is geen #6#'
De kansen op deze gebeurtenissen zijn:
- #\mathbb{P}(B_1) = \cfrac{5}{6}#
- #\mathbb{P}(B_2) = \cfrac{5}{6}#
De gebeurtenis waarbij er geen enkele #6# gegooid wordt, komt overeen de vereniging van de gebeurtenissen #B_1# en #B_2#:
\[A^c = B_1 \cap B_2\]
Aangezien de twee worpen elkaar niet beïnvloeden, en dus onafhankelijk van elkaar zijn, kunnen we kans op de vereniging van #B_1# en #B_2# als volgt berekenen:
\[\mathbb{P}(A^c)=\mathbb{P}(B_1 \cap B_2) = \mathbb{P}(B_1) \cdot \mathbb{P}(B_2) = \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}=\frac{25}{36}\]
Nu dat we de kans op het complement van #A# weten, kunnen we de kans op #A# berekenen:
\[\mathbb{P}(A) = 1 − \mathbb{P}(A^c) =\frac{11}{36}\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
