Kans op de doorsnede van twee gebeurtenissen

Hoofdstuk 3: Kansrekening: Kansrekening

Kans op de doorsnede van twee gebeurtenissen

Kans op de doorsnede
Voor het berekenen van de kans op de doorsnede van twee gebeurtenissen, gelden de volgende rekenegels:

De kans dat gebeurtenissen $A$ en $B$ beiden plaatsvinden is gelijk aan de kan dat gebeurtenis $A$ plaatsvindt vermenigvuldigd met de kans dat gebeurtenis $B$ plaatsvindt, gegeven dat $A$ plaatsvindt: $\mathbb{P}(A\cap B) = \mathbb{P}(A) \cdot \mathbb{P}(B|A)$
Als $A$ en $B$ onafhankelijk zijn, dan versimpelt de bovenstaande vergelijking tot: $\mathbb{P}(A\cap B) = \mathbb{P}(A) \cdot \mathbb{P}(B)$

Stel je een kansexperiment voor waarbij we twee dobbelstenen gooien.

Als we gebeurtenis $A$ definiëren als $A =$ 'er is minstens één $6$ gegooid', wat is dan de kans op $A$ ?

$\mathbb{P}(A) =\dfrac{11}{36}$

Eén van de manieren om de kans op 'minstens één $6$ ' te berekenen, is door gebruik te maken van de complementregel:

$\mathbb{P}(A) = 1 − \mathbb{P}(A^c)$

Het complement van $A$ is in dit geval de gebeurtenis waarbij er geen enkele $6$ gegooid wordt.

Om de kans op dit complement te berekenen, definiëren we de volgende gebeurtenissen:

$B_1=$ 'de eerste worp is geen $6$ '
$B_2=$ 'de tweede worp is geen $6$ '

De kansen op deze gebeurtenissen zijn:

$\mathbb{P}(B_1) = \cfrac{5}{6}$
$\mathbb{P}(B_2) = \cfrac{5}{6}$

De gebeurtenis waarbij er geen enkele $6$ gegooid wordt, komt overeen de vereniging van de gebeurtenissen $B_1$ en $B_2$ :
$A^c = B_1 \cap B_2$

Aangezien de twee worpen elkaar niet beïnvloeden, en dus onafhankelijk van elkaar zijn, kunnen we kans op de vereniging van $B_1$ en $B_2$ als volgt berekenen:

$\mathbb{P}(A^c)=\mathbb{P}(B_1 \cap B_2) = \mathbb{P}(B_1) \cdot \mathbb{P}(B_2) = \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}=\frac{25}{36}$

Nu dat we de kans op het complement van $A$ weten, kunnen we de kans op $A$ berekenen:
$\mathbb{P}(A) = 1 − \mathbb{P}(A^c) =\frac{11}{36}$

Nieuw voorbeeld