Wet van de totale kans

Hoofdstuk 3: Kansrekening: Kansrekening

Wet van de totale kans

Partitie

Een partitie van de uitkomstenruimte $\Omega$ van een experiment is een verzameling wederzijds exclusieve gebeurtenissen $A_1, A_2, \ldots, A_k$ waarvan de vereniging $A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_k$ gelijk is aan $\Omega$ .

Dit betekent dat elke mogelijke uitkomst van het experiment een element is van één en slechts één van de gebeurtenissen.

Wet van de Totale Kans

Gegeven een partitie $A_1, A_2, \ldots, A_k$ en een andere gebeurtenis $B$ , is het mogelijk om $B$ te schrijven als:

$B = (A_1 \cap B) \cup (A_2 \cap B) \cup \ldots \cup (A_k \cap B)$

Vervolgens

$\begin{array}{rcl} \mathbb{P}(B) &=& \mathbb{P}[(A_1 \cap B) \cup (A_2 \cap B) \cup \ldots \cup (A_k \cap B)]\\\\ &=& \mathbb{P}(A_1 \cap B) + \mathbb{P}(A_2 \cap B) + \ldots + \mathbb{P}(A_k \cap B)\\\\ &=& \mathbb{P}(B\,|\,A_1)\cdot \mathbb{P}(A_1) + \mathbb{P}(B\,|\,A_2)\cdot \mathbb{P}(A_2) + \ldots + \mathbb{P}(B\,|\,A_k)\cdot \mathbb{P}(A_k) \end{array}$

Gegeven dat $\mathbb{P}(A_i) \neq 0$ voor alle $i$ . Dit heet de Wet van de Totale Kans.

Stel dat je ouders een zomervakantie aan het plannen zijn naar één van de volgende bestemmingen: Spanje, Italië, Frankrijk, of Kroatië. Hiervoor gelden de volgende kansen:

De kans dat je ouders naar Spanje gaan is $0.1$ .
De kans dat je ouders naar Italië gaan is $0.2$ .
De kans dat je ouders naar Frankrijk gaan is $0.3$ .
De kans dat je ouders naar Kroatië gaan is $0.4$ .

Afhankelijk van de gekozen bestemming, bestaan er de volgende kansen dat je besluit om met je ouders op vakantie te gaan:

Als je ouders voor Spanje kiezen, dan is de kans dat je meegaat $0.3$ .
Als je ouders voorItalië kiezen, dan is de kans dat je meegaat $0.4$ .
Als je ouders voorFrankrijk kiezen, dan is de kans dat je meegaat $0.7$ .
Als je ouders voorKroatië kiezen, dan is de kans dat je meegaat $0.6$ .

Wat is de kans dat je deze zomer met je ouders op vakantie gaat?

$\mathbb{P}(\text{You join your parents})= 0.56$

Eerst definiëren we de volgende gebeurtenissen:

$A_1 =$ 'Je ouders kiezen voor Spanje'
$A_2 =$ 'Je ouders kiezen voor Italië'
$A_3 =$ 'Je ouders kiezen voor Frankrijk'
$A_4 =$ 'Je ouders kiezen voor Kroatië'
$B\,\,=\,$ 'Je gaat met je ouders op vakantie'

Vervolgens gebruiken we de wet van de totale kans om de kans berekenen dat je met je ouders op vakantie gaat:

$\begin{array}{rcl} \mathbb{P}(B) &=& \mathbb{P}(B\,|\,A_1)\cdot \mathbb{P}(A_1) + \mathbb{P}(B\,|\,A_2)\cdot \mathbb{P}(A_2) + \mathbb{P}(B\,|\,A_3)\cdot \mathbb{P}(A_3) + \mathbb{P}(B\,|\,A_4)\cdot \mathbb{P}(A_4)\\\\ &=& 0.3 \cdot 0.1 + 0.4 \cdot 0.2 + 0.7 \cdot 0.3 + 0.6 \cdot 0.4\\\\ &=& 0.56\\ \end{array}$

Nieuw voorbeeld