Hoofdstuk 3: Kansrekening: Kansrekening
Regel van Bayes
Regel van Bayes
De regel van Bayes wordt gebruikt om de voorwaardelijke kans op #A# gegeven #B# te berekenen, en is als volgt gedefinieerd: \[\mathbb{P}(A|B) = \cfrac{\mathbb{P}(B|A)\cdot \mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)}\]
Er bestaat een #40\%# kans dat het op zondag gaat regenen.
Als het zondag regent, dan bestaat er een #10\%# kans dat het op maandag ook zal regenen. Als het niet regent op zodag, dan bestaat er een #80\%# kans dat het op maandag zal regenen.
Een meteoroloog definieert de volgende gebeurtenissen:
- #A =# 'het regent op zondag'
- #B =# 'het regent op maandag'
De volgende kansen zijn gegeven:
\[\begin{array}{rcl}
\mathbb{P}(A) &=&0.40\\\\
\mathbb{P}(A^c) &=& 1 - \mathbb{P}(A) = 0.60\\\\
\mathbb{P}(B|A) &=& 0.10\\\\
\mathbb{P}(B|A^c) &=& 0.80
\end{array}\]
Om de kans te berekenen dat het zondag regent, gegeven dat het op maandag regent, maken we gebruik van de regel van Bayes:
\[\mathbb{P}(A|B) = \cfrac{\mathbb{P}(B|A)\cdot \mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)}\]
Hiervoor moeten we eerst de kans berekenen dat het maandag regent #\mathbb{P}(B)#. Dit doen we met de wet van de totale kans:
\[\mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(B|A) \cdot \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B|A^c) \cdot \mathbb{P}(A^c) = 0.10 \cdot 0.40 + 0.80 \cdot 0.60 = 0.52\]
Er bestaat dus een kans van #52\%# dat het op maandag gaat regenen, ongeacht of het op zondag regent of niet.
We hebben nu alle gegevens die we nodig hebben op de regel van Bayes toe te passen:
\[\mathbb{P}(A|B) = \cfrac{\mathbb{P}(B|A)\cdot \mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)}=\cfrac{0.10 \cdot 0.40}{0.52} = 0.0769\]
Dus als het op maandag regent, dan bestaat er een #7.69\%# kans dat het op zondag ook regent.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.