Hoofdstuk 4: Kansverdelingen: Veelvoorkomende kansverdelingen
De Poisson kansverdeling
Poisson-experiment
In een Poisson-experiment gelden de volgende uitspraken.
- We observeren het optreden van een bepaalde gebeurtenis binnen een vast interval van tijd of ruimte.
- De gemiddelde frequentie #\lambda# van optreden van gebeurtenissen is bekend en is hetzelfde voor elk interval van gelijke lengte.
- De kans dat een gebeurtenis zich voordoet is onafhankelijk van de tijd sinds de laatste gebeurtenis.
- De variabele waarin we geïnteresseerd zijn, #X#, is het aantal keren dat de gebeurtenis binnen het interval plaatsvindt.
Laat #X# het aantal keren zijn dat een bepaalde gebeurtenis voorkomt in een Poisson-experiment, dan is #X# een Poisson kansvariabele met bereik: \[R(X)=\{0,1,\ldots\}\]
We zeggen dat #X# Poisson verdeeld is met parameter #\lambda# : \[X \sim Pois(\lambda)\]
#\text{}#
Berekening van Poisson kansen met statistische software
Laat #X# een Poisson kansvariabele zijn met parameter #\lambda#.
Om #\mathbb{P}(X=x)# in Excel te berekenen, maken we gebruik van de volgende functie:
POISSON.DIST(x, mean, cumulative)
- x : Het aantal keren dat de gebeurtenis voorkomt.
- mean : Het gemiddelde van de verdeling.
- cumulative : Een logische waarde die bepaalt welke vorm de kansverdeling krijgt.
- TRUE - gebruikt de cumulatieve verdeling (ten hoogste x gebeurtenissen), #\mathbb{P}(X \leq x)#
- FALSE - gebruikt de kansfunctie (precies x gebeurtenissen), #\mathbb{P}(X = x)#
Gebruik de volgende functie om #\mathbb{P}(X=x)# in R te berekenen:
dpois(x, lambda)
- x : Het aantal gebeurtenissen.
- lambda : Het gemiddelde van de verdeling.
#\text{}#
Berekening van cumulatieve Poisson kansen met statistische software
Laat #X# een Poisson kansvariabele zijn met parameter #\lambda#.
Om cumulatieve kansen voor een Poisson- verdeling in Excel te berekenen, maken we gebruik van de volgende functie:
POISSON.DIST(x, mean, cumulative)
- x : Het aantal keren dat het voorkomt.
- mean : Het gemiddelde van de verdeling.
- cumulative : Een logische waarde die bepaalt welke vorm de kansverdeling krijgt.
- TRUE - gebruikt de cumulatieve verdeling (ten hoogste x gebeurtenissen), #\mathbb{P}(X \leq x)#
- FALSE - gebruikt de kansfunctie (precies x gebeurtenissen), #\mathbb{P}(X = x)#
Gebruik de volgende functie om cumulatieve kansen voor een Poisson verdeling in R te berekenen:
ppois(q, lambda)
- q : Het aantal gebeurtenissen.
- lambda : Het gemiddelde van verdeling.
#\text{}#
Gemiddelde, variantie en standaardafwijking van een Poisson kansvariabele
Laat #X# een Poisson kansvariabele zijn met parameter #\lambda#.
Dan wordt de verwachtingswaarde van #X# berekend met de volgende formule: \[\mu = \lambda\]
De variantie van #X# wordt berekend met de volgende formule: \[\sigma^2 = \lambda\]
En de standaardafwijking van #X# wordt berekend met de volgende formule: \[\sigma = \sqrt{\lambda}\]
De verwachtingswaarde van een Poisson kansvariabele #X\sim Pois(\lambda)# wordt als volgt berekend:
\[\begin{array}{rcl}
\mu&=& \lambda \\\\
&=& 0.5
\end{array}\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.