Hoofdstuk 4: Kansverdelingen: Veelvoorkomende kansverdelingen
De geometrische kansverdeling
Geometrisch experiment
In een geometrisch experiment geldt het volgende.
- We voeren een onbekend aantal onafhankelijke Bernoulli proeven uit.
- De kans op succes #p# is voor elke proef hetzelfde.
- De variabele waarin we geïnteresseerd zijn, #X#, is het totale aantal proeven dat nodig is totdat we voor de eerste keer een succes waarnemen.
Geometrische verdeling
Laat #X# het aantal proeven zijn dat nodig is om het eerste succes in een geometrisch experiment waar te nemen, dan is #X# een geometrische kansvariabele met bereik: \[R(X)=\{1,2,\ldots\}\]
We zeggen dat #X# geometrisch verdeeld is met parameter #p# en schrijven dit als: \[X \sim Geo(p)\]
Stel dat we een gewone zeszijdige dobbelsteen gooien en een succes definiëren als het gooien van een #6#.
Laat #X# het aantal pogingen zijn dat nodig is om een #6# te gooien.
Dan is #X# geometrisch verdeeld met #p=\mathbb{P}(\text{een }6 \text{ rollen}) = \cfrac{1}{6}# : \[X\sim Geo\bigg(\cfrac{1}{6}\bigg)\]
#\phantom{0}#
Geometrische kansen berekenen met statistische software
Laat #X# een geometrische kansvariabele zijn met parameter #p#.
Om #\mathbb{P}(X=x)# in Excel te berekenen, gebruik je de volgende functie:
NEGBINOM.DIST(number_f, number_s, probability_s, cumulative)
- number_f : Het aantal mislukkingen.
- number_s : Het aantal successen.
- OPMERKING: Wanneer je deze functie gebruikt om geometrische kansberekeningen uit te voeren, wordt dit argument altijd ingesteld op 1.
- probability_s : De kans op succes voor elke proef.
- cumulative : Een logische waarde die bepaalt welke vorm de kansverdeling krijgt.
- TRUE - gebruikt de cumulatieve verdeling (maximaal number_f mislukkingen)
- FALSE - gebruikt de kansfunctie (precies number_f mislukkingen)
Om #\mathbb{P}(X=x)# in R te berekenen, gebruik je de volgende functie:
dgeom(x, prob)
- x : Het aantal mislukkingen voordat er een succes optreedt.
- prob : De kans op succes voor elke proef.
#\phantom{0}#
Cumulatieve geometrische kansen berekenen met statistische software
Laat #X# een geometrische kansvariabele zijn met parameter #p#.
Om cumulatieve kansen voor een geometrische verdeling in Excel te berekenen, gebruik je de volgende functie:
NEGBINOM.DIST(number_f, number_s, probability_s, cumulative)
- number_f : Het aantal mislukkingen.
- number_s : Het aantal successen.
- OPMERKING: Wanneer je deze functie gebruikt om geometrische kansberekeningen uit te voeren, wordt dit argument altijd ingesteld op 1.
- probability_s : De kans op succes voor elke proef.
- cumulative : Een logische waarde die de vorm van de functie bepaalt.
- TRUE - gebruikt de cumulatieve verdeling (maximaal number_f mislukkingen)
- FALSE - gebruikt de kansfunctie (precies number_f mislukkingen)
Om cumulatieve kansen voor een geometrische verdeling in R te berekenen, gebruik je de volgende functie:
pgeom(q, prob)
- q : Het aantal mislukkingen voordat er een succes optreedt.
- prob : De kans op succes voor elke proef.
#\text{}#
Gemiddelde, variantie en standaardafwijking van een geometrische kansvariabele
De verwachtingswaarde van een geometrische kansvariabele wordt berekend met de volgende formule: \[\mu = \cfrac{1}{p}\]
De variantie van een geometrische kansvariabele wordt berekend met de volgende formule: \[\sigma^2 = \cfrac{1-p}{p^2}\]
De standaardafwijking van een geometrische kansvariabele wordt berekend met de volgende formule: \[\sigma = \sqrt{\cfrac{1-p}{p^2}}\]
De verwachtingswaarde van een geometrische kansvariabele #X\sim Geo(p)# wordt als volgt berekend:
\[\begin{array}{rcl}
\mu&=& \cfrac{1}{p} \\\\
&=& \cfrac{1}{0.15} \\\\
&=& 6.67
\end{array}\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.