De bouw van een 95% betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde

Laat $Z$ de gestandaardiseerde versie van $\bar{X}$ zijn, dat wil zeggen:

$$Z = \cfrac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{X}}} =\cfrac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$$

Dan heeft $Z$ de standaard normale distributie, dat is $Z\sim N(0,1)$.

Aangetoond kan worden$^{1}$ dat de middelste $95\%$ van de standaard normale verdeling tussen $-1.96$ en $1.96$ ligt:

Vervangen van $Z$ met $\cfrac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ geeft:

Met de hulp van een beetje algebra$^{2}$, kan dit worden herschreven als:

Dit resultaat is wiskundig gelijk aan:

In woorden, is er $95\%$ kans dat we een aselecte steekproef nemen, zodat het interval
$$CI_{\mu,95\%}=(L,U)=(\bar{X} -1.96\cdot\cfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\,\,\,\, \bar{X} + 1.96\cdot\cfrac{\sigma}{\sqrt{n}})$$

de werkelijke waarde van het populatiegemiddelde $\mu$ bevat .

Nadat het monster is genomen en de waarden van de ondergrens $L$ en de bovengrens $U$ zijn berekend, wordt het interval $(L,U)$ een $95\%$ betrouwbaarheidsinterval genoemd voor $\mu$.

De uitdrukking $1.96 \cdot \cfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ wordt de foutmarge genoemd, terwijl $95\%$ het betrouwbaarheidsniveau wordt genoemd.