Hoofdstuk 7: Hypothese toetsen: Hypothese Toets voor een Populatie Proportie
Kleine Steekproef Proportie Toets: Toetsingsgrootheid en p-waarde
Binomiale Toets voor een Populatie Proportie: Toetsingsgrootheid
Als de steekproefgrootte klein is (#n\lt 30#), kan de Centrale Limitiestelling niet meer worden toegepast.
In zulke gevallen, echter, kan het aantal successen #X# worden gebruikt als toetsingsgrootheid.
Onder de aanname dat de nul hypothese #H_0# waar is, heeft #X# de binomiale verdeling met parameters #n# en #\pi_0#. Dat is, #X \sim B(n, \pi_0)#.
Het Berekenen van de p-waarde van een Z-toets voor een Populatieproportie met Statistische Software
Stel dat je waarneemt dat #X=k#.
De berekening van de #p#-waarde van een binomiale toets voor #\pi# is afhankelijk van de richting van de toets en kan worden berekend met behulp van Excel of R.
Om de #p#-waarde te berekenen voor een binomiale toets voor #\pi# in Excel, gebruik je een van de volgende functies:
\[\begin{array}{llll}
\phantom{0}\text{Richting}&\phantom{0000}H_0&\phantom{0000}H_a&\phantom{0000000000}\text{Excel Functie}\\
\hline
\text{Links-zijdig}&H_0:\pi \geq \pi_0&H_a:\pi \lt \pi_0&=\text{BINOM.DIST}(k, n, \pi_0,1)\\
\text{Rechts-zijdig}&H_0:\pi \leq \pi_0&H_a:\pi \gt \pi_0&=1\text{ - }\text{BINOM.DIST}(k \text{ - }1,n,\pi_0 ,1)\\
\text{Twee-zijdig}&H_0:\pi = \pi_0&H_a:\pi \neq \pi_0&\text{twee keer de kleinste kans hierboven}\\
\end{array}\]
Om de #p#-waarde te berekenen voor een binomiale toets voor #\pi# in R, gebruik je een van de volgende functies:
\[\begin{array}{llll}
\phantom{0}\text{Richting}&\phantom{0000}H_0&\phantom{0000}H_a&\phantom{000000}\text{R Functie}\\
\hline
\text{Links-zijdig}&H_0:\pi \geq \pi_0&H_a:\pi \lt \pi_0&\text{pbinom}(k, n, \pi_0, \text{TRUE})\\
\text{Rechts-zijdig}&H_0:\pi \leq \pi_0&H_a:\pi \gt \pi_0&\text{pbinom}(k \text{ - }1,n,\pi_0 , \text{FALSE})\\
\text{Twee-zijdig}&H_0:\pi = \pi_0&H_a:\pi \neq \pi_0&\text{twee keer de kleinste kans hierboven}\\
\end{array}\]
Als #p \leq \alpha#, verwerp je #H_0# en concludeer je #H_a#. Anders, verwerp je #H_0# niet.
Deze kleine-steekproef methode kan ook gebruikt worden voor grote steekproeven, omdat de #p#-waardes ongeveer hetzelfde zullen zijn voor beide methodes.
Een kansspelcommissaris wantrouwt deze bewering en denkt dat de werkelijke winstkansen lager zijn dan # 12 \%#. De commissaris is van plan een statistische test te gebruiken om haar vermoeden te testen.
In #20# individuele proeven wint de commissaris #2# keer .
Bereken de #p#-waarde van de toets en neem een beslissing over #H_0: \pi \geq 0.12#. Rond je antwoord af op #4# decimalen. Gebruik het significantieniveau #\alpha = 0.10#.
Op basis van deze #p#-waarde, moet #H_0# niet worden verworpen, omdat #\,p# #\gt# #\alpha#.
Er zijn een aantal verschillende manieren waarop we de #p#-waarde van de test kunnen berekenen. Klik op een van de panelen om naar een specifieke oplossing te gaan.
Laat #X# het aantal waargenomen overwinningen van #20# noteren, dan #X=2#.
Een steekproefgrootte van #20# wordt niet als groot genoeg beschouwd om de Centrale limietstelling toe te passen. Dit betekent dat we #X# als teststatistiek moeten gebruiken.
Bij de nulhypothese #H_0#, is #X# binomiaal verdeeld met de parameters #n# en #\pi_0#. Namelijk:
\[X \sim B(20, 0.12)\]
Onder de aanname dat #X \sim B(20, 0.12)#, kan de #p#-waarde van een linkszijdige binomiale test voor #\pi# worden berekend met het volgende Excel command:
\[\begin{array}{c}
= \text{BINOM.DIST}(X,n,\pi_0 ,1)\\
\downarrow\\
= \text{BINOM.DIST}(2, 20, 0.12 ,1)
\end{array}\]
Dit geeft:
\[p =0.5631\]
Aangezien #\,p# #\gt# #\alpha#, moet #H_0: \pi = 0.12# niet worden verworpen.
Laat #X# het aantal waargenomen overwinningen van #20# noteren, dan #X=2#.
Een steekproefgrootte van #20# wordt niet als groot genoeg beschouwd om de Centrale limietstelling toe te passen. Dit betekent dat we #X# als teststatistiek moeten gebruiken.
Bij de nulhypothese #H_0#, is #X# binomiaal verdeeld met de parameters #n# en #\pi_0#. Namelijk:
\[X \sim B(20, 0.12)\]
Onder de aanname dat #X \sim B(20, 0.12)#, kan de #p#-waarde van een linkszijdige binomiale test voor #\pi# worden berekend met het volgende R command:
\[\begin{array}{c}
\text{pbinom}(X,n,\pi_0 ,\text{WAAR})\\
\downarrow\\
\text{pbinom}(2, 20, 0.12 ,\text{TRUE})
\end{array}\]
Dit geeft:
\[p =0.5631\]
Aangezien #\,p# #\gt# #\alpha#, moet #H_0: \pi = 0.12# niet worden verworpen.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
