Kleine Steekproef Proportie Toets: Toetsingsgrootheid en p-waarde

Hoofdstuk 7: Hypothese toetsen: Hypothese Toets voor een Populatie Proportie

Kleine Steekproef Proportie Toets: Toetsingsgrootheid en p-waarde

Binomiale Toets voor een Populatie Proportie: Toetsingsgrootheid

Als de steekproefgrootte klein is ( $n\lt 30$ ), kan de Centrale Limitiestelling niet meer worden toegepast.

In zulke gevallen, echter, kan het aantal successen $X$ worden gebruikt als toetsingsgrootheid.

Onder de aanname dat de nul hypothese $H_0$ waar is, heeft $X$ de binomiale verdeling met parameters $n$ en $\pi_0$ . Dat is, $X \sim B(n, \pi_0)$ .

Het Berekenen van de p-waarde van een Z-toets voor een Populatieproportie met Statistische Software

Stel dat je waarneemt dat $X=k$ .

De berekening van de $p$ -waarde van een binomiale toets voor $\pi$ is afhankelijk van de richting van de toets en kan worden berekend met behulp van Excel of R.

Om de $p$ -waarde te berekenen voor een binomiale toets voor $\pi$ in Excel, gebruik je een van de volgende functies:

$\begin{array}{llll} \phantom{0}\text{Richting}&\phantom{0000}H_0&\phantom{0000}H_a&\phantom{0000000000}\text{Excel Functie}\\ \hline \text{Links-zijdig}&H_0:\pi \geq \pi_0&H_a:\pi \lt \pi_0&=\text{BINOM.DIST}(k, n, \pi_0,1)\\ \text{Rechts-zijdig}&H_0:\pi \leq \pi_0&H_a:\pi \gt \pi_0&=1\text{ - }\text{BINOM.DIST}(k \text{ - }1,n,\pi_0 ,1)\\ \text{Twee-zijdig}&H_0:\pi = \pi_0&H_a:\pi \neq \pi_0&\text{twee keer de kleinste kans hierboven}\\ \end{array}$

Om de $p$ -waarde te berekenen voor een binomiale toets voor $\pi$ in R, gebruik je een van de volgende functies:

$\begin{array}{llll} \phantom{0}\text{Richting}&\phantom{0000}H_0&\phantom{0000}H_a&\phantom{000000}\text{R Functie}\\ \hline \text{Links-zijdig}&H_0:\pi \geq \pi_0&H_a:\pi \lt \pi_0&\text{pbinom}(k, n, \pi_0, \text{TRUE})\\ \text{Rechts-zijdig}&H_0:\pi \leq \pi_0&H_a:\pi \gt \pi_0&\text{pbinom}(k \text{ - }1,n,\pi_0 , \text{FALSE})\\ \text{Twee-zijdig}&H_0:\pi = \pi_0&H_a:\pi \neq \pi_0&\text{twee keer de kleinste kans hierboven}\\ \end{array}$

Als $p \leq \alpha$ , verwerp je $H_0$ en concludeer je $H_a$ . Anders, verwerp je $H_0$ niet.

Deze kleine-steekproef methode kan ook gebruikt worden voor grote steekproeven, omdat de $p$ -waardes ongeveer hetzelfde zullen zijn voor beide methodes.

Een casino beweert dat hun gokautomaten zo zijn gekalibreerd dat spelers een kans van $25 \%$ hebben om te winnen bij een willekeurige draai.

Een kansspelcommissaris wantrouwt deze bewering en denkt dat de werkelijke winstkansen lager zijn dan $25 \%$ . De commissaris is van plan een statistische test te gebruiken om haar vermoeden te testen.

In $21$ individuele proeven wint de commissaris $1$ keer .

Bereken de $p$ -waarde van de toets en neem een beslissing over $H_0: \pi \geq 0.25$ . Rond je antwoord af op $4$ decimalen. Gebruik het significantieniveau $\alpha = 0.04$ .

$p=0.0190$

Op basis van deze $p$ -waarde, moet $H_0$ wel worden verworpen, omdat $\,p$ $\lt$ $\alpha$ .

Er zijn een aantal verschillende manieren waarop we de $p$ -waarde van de test kunnen berekenen. Klik op een van de panelen om naar een specifieke oplossing te gaan.

Excel Berekening

Laat $X$ het aantal waargenomen overwinningen van $21$ noteren, dan $X=1$ .

Een steekproefgrootte van $21$ wordt als groot genoeg beschouwd om de Centrale limietstelling toe te passen. Dit betekent dat we $X$ als teststatistiek moeten gebruiken.

Bij de nulhypothese $H_0$ , is $X$ binomiaal verdeeld met de parameters $n$ en $\pi_0$ . Namelijk:
$X \sim B(21, 0.25)$
Onder de aanname dat $X \sim B(21, 0.25)$ , kan de $p$ -waarde van een linkszijdige binomiale test voor $\pi$ worden berekend met het volgende Excel command:
$\begin{array}{c} = \text{BINOM.DIST}(X,n,\pi_0 ,1)\\ \downarrow\\ = \text{BINOM.DIST}(1, 21, 0.25 ,1) \end{array}$
Dit geeft:
$p =0.0190$
Aangezien $\,p$ $\lt$ $\alpha$ , moet $H_0: \pi = 0.25$ wel worden verworpen.

R Berekening

Laat $X$ het aantal waargenomen overwinningen van $21$ noteren, dan $X=1$ .

Een steekproefgrootte van $21$ wordt als groot genoeg beschouwd om de Centrale limietstelling toe te passen. Dit betekent dat we $X$ als teststatistiek moeten gebruiken.

Bij de nulhypothese $H_0$ , is $X$ binomiaal verdeeld met de parameters $n$ en $\pi_0$ . Namelijk:
$X \sim B(21, 0.25)$
Onder de aanname dat $X \sim B(21, 0.25)$ , kan de $p$ -waarde van een linkszijdige binomiale test voor $\pi$ worden berekend met het volgende R command:
$\begin{array}{c} \text{pbinom}(X,n,\pi_0 ,\text{WAAR})\\ \downarrow\\ \text{pbinom}(1, 21, 0.25 ,\text{TRUE}) \end{array}$
Dit geeft:
$p =0.0190$
Aangezien $\,p$ $\lt$ $\alpha$ , moet $H_0: \pi = 0.25$ wel worden verworpen.

Nieuw voorbeeld