Hoofdstuk 7: Hypothese toetsen: Hypothese Toets voor een Populatie Proportie
Hypothese Toets voor een Proportie en Betrouwbaarheidsintervallen
Bedenk dat er een directe verbinding bestaat tussen een tweezijdige hypothesetoets voor #\mu# en een #(1-\alpha)\cdot 100\%# betrouwbaarheidsinterval voor #\mu#.
Deze zelfde verbinding is niet precies van toepassing wanneer we hypotheses toetsen over een bevolkingsproportie #\pi# :
- Bij het uitvoeren van de hypothese toets, gebruiken we #\pi_0# om de toetsingsgrootheid te berekenen.
- Bij het maken van een betrouwbaarheidsinterval, gebruiken we #\hat{p}# om de foutmarge te berekenen.
Echter, als je het #(1-\alpha)\cdot 100\%# betrouwbaarheidsinterval berekent voor #\pi# met #\pi_0# in plaats van #\hat{p}# om de foutmarge te berekenen, is de verbinding is hersteld.
#\phantom{0}#
Verbinden van Hypothesetoetsen met Betrouwbaarheidsintervallen
Als je een #(1 - \alpha)\cdot 100\%\,CI# voor #\pi# berekent met
\[CI_{\pi}=\bigg(\hat{p}- z^*\cdot \sqrt{\cfrac{\pi_0\cdot(1-\pi_0)}{n}},\,\,\,\, \hat{p} + z^*\cdot \sqrt{\cfrac{\pi_0\cdot(1-\pi_0)}{n}} \bigg)\]
Dan:
- Als #\pi_0# binnen het #(1 - \alpha)\cdot 100\%\,CI# valt, dan mag #H_0: \pi=\pi_0# niet worden verworpen bij een significantieniveau van #\alpha#.
- Als #\pi_0# buiten het #(1 - \alpha)\cdot 100\%\,CI# valt, dan moet #H_0: \pi=\pi_0# worden verworpen bij een significantieniveau van #\alpha#.
Uit een willekeurige steekproef van #139# inwoners van het land Oz bleek dat #79# voorstander was van het afzetten van de Tovenaar.
Construeer een #96\%# betrouwbaarheidsinterval voor het deel #\pi# van de bevolking van Oz dat voorstander is van het afzetten van de Tovenaar, waarbij #\pi_0 = 0.50# wordt gebruikt bij de berekening van de foutmarge. Rond je antwoorden af op #3# decimalen.
#CI_{\pi,\,96\%}=(0.481,\,\,\, 0.655)#
Op basis van dit betrouwbaarheidsinterval zou de nulhypothese #H_0: \pi = 0.50# niet verworpen moeten worden op het #\alpha = 0.04# significantieniveau omdat #\pi_0 = 0.50# binnen het betrouwbaarheidsinterval valt.
Er zijn een aantal verschillende manieren waarop we het betrouwbaarheidsinterval kunnen berekenen. Klik op een van de panelen om naar een specifieke oplossing te gaan.
Bereken de steekproefproportie #\hat{p}#:
\[\hat{p}=\cfrac{X}{n}=\cfrac{79}{139}=0.5683\]
Wanneer je #\pi_0# gebruikt om de foutmarge te berekenen, is de algemene formule voor een #C\%\,CI# voor de populatieproportie #\pi# gelijk aan:
\[CI_{\pi}=\bigg(\hat{p}- z^*\cdot \sqrt{\cfrac{\pi_0\cdot(1-\pi_0)}{n}},\,\,\,\, \hat{p} + z^*\cdot \sqrt{\cfrac{\pi_0\cdot(1-\pi_0)}{n}} \bigg)\]
Voor een gegeven betrouwbaarheidsniveau #C# (in #\%#), is de kritische waarde #z^*# van de standaard normale verdeling de waarde zodanig dat #\mathbb{P}(-z^* \leq Z \leq z^*)=\cfrac{C}{100}#.
Om deze kritische waarde #z^*# in Excel te berekenen, gebruik je de volgende functie:
NORM.INV(probability, mean, standard_dev)
- probability: Een kans die overeenkomt met de normale verdeling.
- mean: Het gemiddelde van de verdeling.
- standard_dev: De standaardafwijking van de verdeling.
We hebben hier #C=96#. Dus om #z^*# te berekenen zodanig dat #\mathbb{P}(-z^* \leq Z \leq z^*)=0.96#, voer je het volgende commando uit:
\[\begin{array}{c}
=\text{NORM.INV}((100+C)/200, 0, 1)\\
\downarrow\\
=\text{NORM.INV}(196/200, 0, 1)
\end{array}\]
Dit geeft:
\[z^* = 2.0537\]
Bereken de ondergrens #L# van het betrouwbaarheidsinterval:
\[L = \hat{p} - z^*\cdot \sqrt{\cfrac{\pi _0 \cdot(1-\pi _0)}{n}} = 0.5683 - 2.0537 \cdot \sqrt{\cfrac{0.50 \cdot (1-0.50)}{139}} = 0.481\]
Bereken de bovengrens #U# van het betrouwbaarheidsinterval:
\[U = \hat{p} + z^*\cdot \sqrt{\cfrac{\pi _0 \cdot(1-\pi _0)}{n}} = 0.5683 + 2.0537 \cdot \sqrt{\cfrac{0.50 \cdot (1-0.50)}{139}} = 0.655\]
Dus het #96\%# betrouwbaarheidsinterval voor de populatieproportie #\pi# is:
\[CI_{\pi,\,96\%}=(0.481,\,\,\, 0.655)\]
Op basis van dit betrouwbaarheidsinterval zou de nulhypothese #H_0: \pi = 0.50# niet verworpen moeten worden op het #\alpha = 0.04# significantieniveau omdat #\pi_0 = 0.50# binnen het betrouwbaarheidsinterval valt.
Bereken de steekproefproportie #\hat{p}#:
\[\hat{p}=\cfrac{X}{n}=\cfrac{79}{139}=0.5683\]
Als je #\pi_0# gebruikt om de foutmarge te berekenen, is de algemene formule voor een #C\%\,CI# voor de populatieproportie #\pi# gelijk aan:
\[CI_{\pi}=\bigg(\hat{p}- z^*\cdot \sqrt{\cfrac{\pi_0\cdot(1-\pi_0)}{n}},\,\,\,\, \hat{p} + z^*\cdot \sqrt{\cfrac{\pi_0\cdot(1-\pi_0)}{n}} \bigg)\]
Voor een gegeven betrouwbaarheidsniveau #C# (in #\%#), is de kritische waarde #z^*# van de standaard normale verdeling de waarde zodanig dat #\mathbb{P}(-z^* \leq Z \leq z^*)=\cfrac{C}{100}#.
Om deze kritische waarde #z^*# in R te berekenen, gebruik je de volgende functie:
qnorm(p, mean, sd, lower.tail)
- p: Een kans die overeenkomt met de normale verdeling.
- mean: Het gemiddelde van de verdeling.
- sd: De standaardafwijking van de verdeling.
- lower.tail: Indien TRUE (standaard), is de kans #\mathbb{P}(X \leq x)#, anders, #\mathbb{P}(X \gt x)#.
We hebben hier #C=96#. Dus om #z^*# te berekenen zodanig dat #\mathbb{P}(-z^* \leq Z \leq z^*)=0.96#, voer je het volgende commando uit:
\[\begin{array}{c}
\text{qnorm}(p = (100+C)/200, mean = 0, sd = 1, lower.tail = \text{TRUE})\\
\downarrow\\
\text{qnorm}(p =196/200, mean = 0, sd = 1, lower.tail = \text{TRUE})
\end{array}\]
Dit geeft:
\[z^* = 2.0537\]
Bereken de ondergrens #L# van het betrouwbaarheidsinterval:
\[L = \hat{p} - z^*\cdot \sqrt{\cfrac{\pi _0 \cdot(1-\pi _0)}{n}} = 0.5683 - 2.0537 \cdot \sqrt{\cfrac{0.50 \cdot (1-0.50)}{139}} = 0.481\]
Bereken de bovengrens #U# van het betrouwbaarheidsinterval:
\[U = \hat{p} + z^*\cdot \sqrt{\cfrac{\pi _0 \cdot(1-\pi _0)}{n}} = 0.5683 + 2.0537 \cdot \sqrt{\cfrac{0.50 \cdot (1-0.50)}{139}} = 0.655\]
Dus het #96\%# betrouwbaarheidsinterval voor de populatieproportie #\pi# is:
\[CI_{\pi,\,96\%}=(0.481,\,\,\, 0.655)\]
Op basis van dit betrouwbaarheidsinterval moet de nulhypothese #H_0: \pi = 0.50# niet worden verworpen op het #\alpha = 0.04# significantieniveau omdat #\pi_0 = 0.50# binnen het betrouwbaarheidsinterval valt.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.