Gepaarde t-toets: Doel, hypothesen, en Aannames

Hoofdstuk 8: Toetsen voor verschillen in gemiddelden en proporties: T-Toets voor twee gepaarde steekproeven

Gepaarde t-toets: Doel, hypothesen, en Aannames

In dit hoofdstuk zullen we onderzoeksontwerpen bekijken waarin een continue variabele twee keer wordt gemeten op een eenvoudige willekeurige steekproef van #n# proefpersonen. Deze twee metingen van dezelfde variabele worden aangeduid met #X# en #Y#. Samen vormen deze twee scores een gematcht paar voor elk persoon in de steekproef.
#\phantom{0}#

Paired Data Onderzoeksontwerpen

Typische onderzoeksontwerpen die gepaarde data opleveren zijn:

De proefpersonen krijgen een pre-toets waarvan de score #X# is, dan wordt er een bewerking op gedaan, dan krijgen ze een post-toets waarvan de score #Y# is.
Onderwerpen worden gemeten onder twee verschillende omstandigheden op twee verschillende tijdstippen. Onder dergelijke omstandigheden is het belangrijk dat de volgorde van de voorwaarden willekeurig is om te voorkomen dat er een volgorde-effect optreedt. Dan is #X# de meting onder de ene voorwaarde en #Y# de meting onder de andere.
Onderwerpen zijn geen individuele mensen maar dyads (paren van mensen), zoals een tweeling, of koppels in een relatie. Dan wordt #X# gemeten met het ene lid van het koppel en #Y# met het andere.
Er worden metingen gedaan aan twee verschillende delen van het lichaam, zoals de linker- en rechterarm, of het linker- en rechteroog. Dan wordt #X# gemeten aan de ene kant en #Y# aan de andere kant.

#\phantom{0}#
In dergelijke gevallen zijn we niet per se geïnteresseerd in het maken van conclusies over of #X# of #Y#. In plaats daarvan willen we conclusies trekken over het verschil #D# tussen hen.

Of je het verschil definieert als #D=X-Y# of #D=Y-X# maakt voor de uitkomst van de statistische toets niet uit, zolang je maar consistent blijft in je keuze hoe het verschil wordt berekend.

Laat #\mu_D# het onbekende gemiddelde verschil voor de gematchte paren zijn als #D# werd gemeten op de gehele populatie, en #\sigma_D# de onbekende standaardafwijking. Om conclusies te trekken over #\mu_D#, moet een gepaarde #t#-toets worden gebruikt.
#\phantom{0}#

Gepaarde t-toets: Doel en Hypothesen

De gepaarde #\boldsymbol{t}#-toets wordt gebruikt om hypothesen te toetsen over het gemiddelde verschil #\mu_D# tussen twee gepaarde steekproeven.

De test wordt met name gebruikt om te bepalen of het aannemelijk is dat #\mu_D# afwijkt van een bepaalde waarde #\Delta#. In de meeste situaties is #\Delta=0#, dus we zullen alleen deze specifieke situatie presenteren.

De hypothesen van een tweezijdige, gepaarde #t#-toets zijn vrij eenvoudig:

\[H_0: \mu_D = 0\]

\[H_a: \mu_D \neq 0\]

De hypothesen voor eenzijdige t-toetsen met gepaarde steekproeven zijn echter wat lastiger te formuleren, omdat ze afhankelijk zijn van de definitie van de verschilscore #D# en de verwachtingen van de onderzoeker.

Als je #D# op een zodanige wijze definieert dat het gemiddelde verschil #\mu_D# naar verwachting positief zal zijn, moet een rechtszijdige toets worden gebruikt:

\[H_0: \mu_D \leq 0\]

\[H_a: \mu_D \gt 0\]

Als je, aan de andere kant, #D# op een zodanige wijze definieert dat het gemiddelde verschil #\mu_D# naar verwachting negatief zal zijn, moet een linkszijdige toets worden gebruikt:

\[H_0: \mu_D \geq 0\]

\[H_a: \mu_D \lt 0\]

Aannames van de Gepaarde t-toets

De volgende aannames moeten stand houden om een gepaarde t-test geldige resultaten te laten opleveren:

Willekeurige steekproeven worden gebruikt om de steekproeven te trekken.
De twee steekproeven zijn gerelateerd .
De steekproevenverdeling van het steekproefgemiddelde is bij benadering normaal verdeeld . Aan deze voorwaarde van normaliteit wordt onder de volgende omstandigheden voldaan:
- Als de steekproef klein #(n \lt 30)# is, is het vereist dat de verschilscores normaal verdeeld zijn:
  \[D\sim N(\mu_D, \sigma_D)\]
- Als de steekproef voldoende groot is #(n \geq 30)#, kan de centrale limietstelling worden toegepast en is deze vereiste niet nodig.