Onafhankelijke t-toets: Doel, hypothesen, en Aannames

Hoofdstuk 8: Toetsen voor verschillen in gemiddelden en proporties: T-Toets voor twee onafhankelijke steekproeven

Onafhankelijke t-toets: Doel, hypothesen, en Aannames

In dit hoofdstuk bekijken we onderzoeksontwerpen waarin een continue variabele één keer wordt gemeten in twee afzonderlijke eenvoudige willekeurige steekproeven. De metingen van de eerste en tweede steekproef worden aangeduid met respectievelijk #X_1# en #X_2#.

Om conclusies te trekken over het verschil tussen de gemiddelden van twee onafhankelijke populaties, moet een onafhankelijke #t#-toets worden gebruikt.
#\phantom{0}#

Onafhankelijke t-toets: hypothesen

De onafhankelijke #\boldsymbol{t}#-toets wordt gebruikt om hypothesen over het verschil tussen twee populatiegemiddelden #\mu_1 - \mu_2# te testen.

De test wordt met name gebruikt om te bepalen of het aannemelijk is dat #\mu_1-\mu_2# afwijkt van een bepaalde waarde #\Delta#. In de meeste gevallen geldt #\Delta=0#, dus we zullen alleen deze situatie bespreken.

De hypothesen van een onafhankelijke #t#-toets zijn:

Tweezijdig #^1#	Linkszijdig	Rechtszijdig
#H_0: \mu_1 - \mu_2 = 0# #H_a: \mu_1 - \mu_2 \neq 0#	#H_0:\mu_1 - \mu_2 \geq 0# #H_a: \mu_1 - \mu_2 \lt 0#	#H_0: \mu_1 - \mu_2 \leq 0# #H_a: \mu_1 - \mu_2 \gt 0#

Merk op dat #\mu_1 - \mu_2 = 0# hetzelfde betekent als #\mu_1 = \mu_2#.

Aannames van de onafhankelijke t-toets

De volgende aannames zijn vereist om ervoor te zorgen dat een onafhankelijke #t#-toets geldige resultaten oplevert:

Willekeurige steekproeven worden gebruikt om de steekproeven te trekken.
Onafhankelijkheid van waarnemingen, wat betekent:
- Geen enkel individu kan deel uitmaken van beide steekproeven.
- Geen enkel individu in een van beide steekproeven kan individuen in dezelfde steekproef beïnvloeden.
- Geen enkel individu in een van beide steekproeven kan individuen in de andere steekproef beïnvloeden.
De steekproevenverdeling van het verschil tussen de twee steekproefgemiddelden is bij benadering normaal verdeeld. Aan deze voorwaarde van normaliteit wordt voldaan onder de volgende omstandigheden:
- Als een van de steekproeven klein is #(n_1 \lt 30 \text{ of } n_2 \lt 30)#, is het vereist dat de gemeten variabele normaal verdeeld is over elke populatie:
  \[X_1 \sim N(\mu_1, \sigma_1) \phantom{000000} X_2 \sim N(\mu_2, \sigma_2)\]
- Als beide steekproeven #(n_1 \geq 30# en #n_2 \geq 30)# voldoende groot zijn, kan de centrale limietstelling worden gebruikt en is deze vereiste niet nodig.