Z-toets voor onafhankelijke Proporties: Toetsingsgrootheid en p-waarde

Hoofdstuk 8: Toetsen voor verschillen in gemiddelden en proporties: Z-toets voor onafhankelijke Proporties

Z-toets voor onafhankelijke Proporties: Toetsingsgrootheid en p-waarde

Z-toets voor Onafhankelijke Proporties: Toetsingsgrootheid

Laat $X_1$ het aantal successen in de eerste steekproef zijn en $X_2$ het aantal successen in de tweede steekproef. Dan zijn $\hat{p}_1$ en $\hat{p}_2$ de steekproefproporties:

$\hat{p}_1 = \cfrac{X_1}{n_1} \phantom{000000} \hat{p}_2 = \cfrac{X_2}{n_2}$

Naast de individuele steekproefproporties hebben we ook de gepoolde steekproefproportie $\hat{p}$ nodig om de toetsingsgrootheid te berekenen:

$\hat{p} = \cfrac{X_1+X_2}{n_1+n_2}$

De toetsingsgrootheid van een $Z$ -toets voor onafhankelijke proporties wordt $Z$ genoemd en wordt berekend met de volgende formule:

$Z=\cfrac{(\hat{p}_1-\hat{p}_2) - (\pi_1 - \pi_2)}{s_{(\hat{p}_1 - \hat{p}_2)}} = \cfrac{\hat{p}_1-\hat{p}_2 }{\sqrt{\hat{p}\cdot(1-\hat{p})\cdot(\cfrac{1}{n_1}+\cfrac{1}{n_2})}}$

waarbij $s_{(\hat{p}_1 - \hat{p}_2)}$ de standaardfout van het proportie verschil is.

Wanneer beide steekproeven groot zijn $(n_1 \geq 30 \text{ en } n_2 \geq 30)$ , volgt de $Z$ -score de standaardnormale verdeling onder de nulhypothese van de test:

$Z \sim N(0,1)$

Berekening van de p-waarde van een Z-toets voor Onafhankelijke Proporties met Statistische Software

De berekening van de $p$ -waarde van een $Z$ -toets voor onafhankelijke proporties is afhankelijk van de richting van de test en kan worden uitgevoerd met behulp van Excel of R.

Om de $p$ -waarde van een $Z$ -toets voor onafhankelijke proporties voor $\pi_1 - \pi_2$ in Excel te berekenen, gebruik je één van de volgende functies:

$\begin{array}{llll} \phantom{0}\text{Richting}&\phantom{000000}H_0&\phantom{000000}H_a&\phantom{0000000000}\text{Excel functie}\\ \hline \text{Tweezijdig}&H_0:\pi_1 - \pi_2 = 0&H_a:\pi_1 - \pi_2 \neq 0&=2 \text{ * }(1 \text{ - }\text{NORM.DIST}(\text{ABS}(z),0,1,1))\\ \text{Linkszijdig}&H_0:\pi_1 - \pi_2 \geq 0&H_a:\pi_1 - \pi_2 \lt 0&=\text{NORM.DIST}(z,0,1,1)\\ \text{Rechtszijdig}&H_0:\pi_1 - \pi_2 \leq 0&H_a:\pi_1 - \pi_2 \gt 0&=1 \text{ - }\text{NORM.DIST}(z,0,1,1)\\ \end{array}$

Om de $p$ -waarde van een $Z$ -toets voor onafhankelijke proporties voor $\pi_1 - \pi_2$ in R te berekenen, gebruik je één van de volgende functies:

$\begin{array}{llll} \phantom{0}\text{Richting}&\phantom{000000}H_0&\phantom{000000}H_a&\phantom{0000000000}\text{R functie}\\ \hline \text{Tweezijdig}&H_0:\pi_1 - \pi_2 = 0&H_a:\pi_1 - \pi_2 \neq 0&2 \text{ * }\text{pnorm}(\text{abs}(z),0,1, \text{FALSE})\\ \text{Linkszijdig}&H_0:\pi_1 - \pi_2 \geq 0&H_a:\pi_1 - \pi_2 \lt 0&\text{pnorm}(z,0,1, \text{TRUE})\\ \text{Rechtszijdig}&H_0:\pi_1 - \pi_2 \leq 0&H_a:\pi_1 - \pi_2 \gt 0&\text{pnorm}(z,0,1, \text{FALSE})\\ \end{array}$

Als $p \leq \alpha$ , verwerp je $H_0$ en concludeer je $H_a$ . Anders verwerp je $H_0$ niet.

Is het stiptheidsgehalte voor treinen die aankomen op Amsterdam Centraal Station tijdens de ochtend- en avondritten hetzelfde? Om dit te onderzoeken heeft een onderzoeker een steekproef genomen van de aankomsttijden van $n_1=125$ treinen op doordeweekse ochtenden en $n_2=115$ treinen op doordeweekse avonden.

De onderzoeker is van plan een $Z$ -toets voor onafhankelijke proporties te gebruiken om te bepalen of er al dan niet een significant verschil is tussen de tijdige aankomst in de ochtend en de avond, op het $\alpha = 0.02$ significantieniveau.

Van de $125$ ochtendtreinen arriveerden er $X_1=104$ op tijd. Van de $115$ avondtreinen arriveerden er $X_2=107$ op tijd.

Bereken de $p$ -waarde van de toets en neem een beslissing over $H_0: \pi_1 - \pi_2 = 0$ . Rond je antwoord af op $3$ decimalen.

$p=0.019$

Op basis van deze $p$ -waarde moet $H_0$ worden verworpen, omdat $\,p$ $\lt$ $\alpha$ .

Er zijn een aantal verschillende manieren om de $p$ -waarde van een toets te berekenen. Klik op één van de panelen om de desbetreffende oplossing te bekijken.

Excel Berekening

Bereken de steekproefproporties $\hat{p}_1$ en $\hat{p}_2$ :

$\hat{p}_1=\cfrac{X_1}{n_1}=\cfrac{104}{125}=0.83200\\ \hat{p}_2=\cfrac{X_2}{n_2}=\cfrac{107}{115}=0.93043$
Bereken de gepoolde steekproefproportie $\hat{p}$ :

$\hat{p}=\cfrac{X_1 + X_2 }{n_1 + n_2}=\cfrac{104 + 107}{125 + 115}=0.87917$
Bereken de $Z$ -score:

$z=\cfrac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p} \cdot (1-\hat{p}) \cdot \bigg(\cfrac{1}{n_1}+\cfrac{1}{n_2} \bigg)}} =\cfrac{0.83200 - 0.93043}{\sqrt{0.87917 \cdot (1-0.87917) \cdot \bigg(\cfrac{1}{125}+\cfrac{1}{115} \bigg)}}=-2.3373$
Omdat zowel $n_1$ als $n_2$ als groot wordt beschouwd ( $\gt 30$ ), is de centrale limietstelling van toepassing en weten we dat de toetsingsgrootheid

$Z=\cfrac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p} \cdot (1-\hat{p}) \cdot \bigg(\cfrac{1}{n_1}+\cfrac{1}{n_2} \bigg)}}$

ongeveer de standaardnormale verdeling heeft, onder de aanname dat $H_0$ waar is.

Voor een tweezijdige $Z$ -toets is de $p$ -waarde gedefinieerd als $2\cdot \mathbb{P}(Z \geq |z|)$ . Om deze waarde in Excel te berekenen, gebruik je de volgende functie:

NORM.DIST(x, mean, standard_dev, cumulative)

x : De waarde waarvoor je de kans wilt berekenen.

mean : Het gemiddelde van de verdeling.

standard_dev : De standaardafwijking van de verdeling.

cumulative : Een logische waarde die de vorm van de functie bepaalt.

TRUE - gebruikt de cumulatieve verdelingsfunctie, $\mathbb{P}(X \leq x)$

FALSE - gebruikt de kansdichtheidsfunctie

Om $p = 2\cdot \mathbb{P}(Z \geq |z|)$ te berekenen, voer je dus de volgende command uit:

$=2 \text{ * }(1 \text{ - } \text{NORM.DIST}(\text{ABS}(z),0,1,1))\\ \downarrow\\ =2 \text{ * }(1 \text{ - } \text{NORM.DIST}(\text{ABS}(\text{-}2.33732),0,1,1))$
Dit geeft:

$p = 0.019$
Omdat $\,p$ $\lt$ $\alpha$ , moet $H_0: \pi_1 - \pi_2 = 0$ worden verworpen.

R Berekening

Bereken de steekproefproporties $\hat{p}_1$ en $\hat{p}_2$ :

$\hat{p}_1=\cfrac{X_1}{n_1}=\cfrac{104}{125}=0.83200\\ \hat{p}_2=\cfrac{X_2}{n_2}=\cfrac{107}{115}=0.93043$
Bereken de gepoolde steekproefproportie $\hat{p}$ :

$\hat{p}=\cfrac{X_1 + X_2 }{n_1 + n_2}=\cfrac{104 + 107}{125 + 115}=0.87917$
Bereken de $Z$ -score:

$Z=\cfrac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p} \cdot (1-\hat{p}) \cdot \bigg(\cfrac{1}{n_1}+\cfrac{1}{n_2} \bigg)}}$

pnorm(q, mean, sd, lower.tail)

q : De waarde waarvoor je de kans wilt berekenen.

mean : Het gemiddelde van de verdeling.

sd : De standaardafwijking van de verdeling.

lower.tail : Als TRUE (standaard), zijn kansen $\mathbb{P}(X \leq x)$ , anders, $\mathbb{P}(X \gt x)$ .

Om $p = 2\cdot \mathbb{P}(Z \geq |z|)$ te berekenen, voer je dus de volgende command uit:

$2 \text{ * } \text{pnorm}(q = \text{abs}(z), mean = 0, sd = 1,lower.tail = \text{FALSE})\\ \downarrow\\ 2\text{ * } \text{pnorm}(q = \text{abs}(\text{-}2.33732), mean = 0, sd = 1,lower.tail = \text{FALSE})$
Dit geeft:

$p = 0.019$
Omdat $\,p$ $\lt$ $\alpha$ , moet $H_0: \pi_1 - \pi_2 = 0$ worden verworpen.

Nieuw voorbeeld