We hebben de logische operatoren en, of, niet, implicatie (als ... dan) en bi-implicatie (enkel en alleen als) gezien. We hebben ook gezien dat we met behulp van deze operatoren samengestelde proposities construeren, welke ook als waar of onwaar geëvalueerd kunnen worden. Het is echter best lastig om te zien wanneer een complexe samengestelde propositie zoals waar is. Om dat te kunnen doen, introduceren we waarheidstabellen. Eerst kijken we naar een voorbeeld.
Beschouw de volgende propositie "Ik heb een fiets en een auto.". Deze propositie is precies waar als de proposities "Ik heb een fiets." en "Ik heb een auto." beide waar zijn. In propositieletters kunnen we schrijven
Waarheidstabel
|
|
|
waar |
waar |
waar |
waar |
onwaar |
onwaar |
onwaar |
waar |
onwaar |
onwaar |
onwaar |
onwaar |
De eerste twee kolommen komen overeen met de proposities en . De laatste kolom komt overeen met de samengestelde propositie . In de kolommen sommen we de waardes op van deze proposities in de verschillende gevallen.
De rijen bevatten alle mogelijke combinaties van de waardes die en kunnen aannemen. Zowel als kan waar of onwaar zijn. Daarom zijn er vier gevallen, wat leidt tot vier rijen (de rij met de koptekst niet meegerekend). De gevallen zijn lexicografisch opgesomd, waarbij waar voor onwaar komt.
Bijvoorbeeld, de invoer in de kolom behorende bij en in de rij met de waardes onwaar voor en waar voor geeft de waarde van aan voor deze situatie, dat is onwaar.
De waarheidstabel voor één enkele propositie
ziet er als volgt uit
De waarheidstabel voor de propositie
ziet er als volgt uit
Er zijn exact twee mogelijkheden voor de waarde van (waar of onwaar). Voor elk van deze twee mogelijkheden zijn er twee mogelijke waardes voor de samengestelde uitdrukking met enkel . Daarom zijn er precies essentieel verschillende (wat heet, inequivalente) proposities met alleen . Hierboven hebben we er twee gezien.
De andere twee zijn simpelweg de proposities waar (welke altijd waar is) en onwaar (welke altijd onwaar is). Dit kan ook opgeschreven worden op een meer complexe manier, zodat het lijkt alsof ze argumenten hebben met ; bijvoorbeeld voor waar en voor onwaar.
Hier staat het algemene geval.
Laat een samengestelde propositie zijn afhankelijk van variabelen .
De waarheidstabel voor is de tabel met kolommen, één voor elk van de afhankelijke variabelen en een kolom voor met daarin, voor elk van de waardes van de , de waarde van de .
Voor het gemak mag je direct na de eerste kolommen nog hulpkolommen toevoegen met proposities die voorkomen in .
De invoer van een waarheidstabel zijn alle mogelijke combinaties van de waardes waar of onwaar voor de afhankelijke variabelen . Elke rij bevat één specifieke combinatie. De uitvoer zijn de bijbehorende waardes van de proposities in de hulpkolommen en in de kolom van .
Voorbeeld
De waarheidstabel voor is
|
|
|
|
|
waar |
waar |
waar |
waar |
waar |
waar |
onwaar |
waar |
onwaar |
waar |
onwaar |
waar |
waar |
onwaar |
waar |
onwaar |
onwaar |
onwaar |
onwaar |
onwaar |
De hulpkolommen zijn die kolommen met en bovenaan.
Inspectie van de tabel laat zien dat onwaar is precies wanneer en beiden onwaar zijn.
Het is gebruikelijk om de rijen in een vaste volgorde te tonen. Meestal wordt de lexicografische volgorde aangehouden waarbij waar voor onwaar komt. In de eerste rij hebben alle variabelen de waarde waar. In de laatste rij hebben alle variabelen de waarde onwaar. Als , dan begint de tweede rij met maal een invoer waar en de -de invoer onwaar, en zo verder.
De propositie is waar precies wanneer onwaar is. Een voorbeeld van een negatie, in woorden, is
De propositie is waar precies wanneer en allebei waar zijn. Een voorbeeld van een conjunctie, in woorden, is
|
|
|
waar |
waar |
waar |
waar |
onwaar |
onwaar |
onwaar |
waar |
onwaar |
onwaar |
onwaar |
onwaar |
De propositie is waar als waar is, als waar is, of als en beide waar zijn. Een voorbeeld van een disjunctie, in woorden, is
|
|
|
waar |
waar |
waar |
waar |
onwaar |
waar |
onwaar |
waar |
waar |
onwaar |
onwaar |
onwaar |
De propositie is waar wanneer impliceert Dit is waar als zowel en waar zijn, en wanneer onwaar is. Een voorbeeld van een implicatie, in woorden, is
|
|
|
waar |
waar |
waar |
waar |
onwaar |
onwaar |
onwaar |
waar |
waar |
onwaar |
onwaar |
waar |
De propositie is waar wanneer en beide dezelfde waarde hebben. Een voorbeeld van een bi-implicatie, in woorden, is
|
|
|
waar |
waar |
waar |
waar |
onwaar |
onwaar |
onwaar |
waar |
onwaar |
onwaar |
onwaar |
waar |
De waarheidstabel is een hulpmiddel dat we gebruiken om proposities te evalueren. Het is belangrijk dat we weten hoe het te gebruiken. De waarheidstabel voor bepaalt het toekennen van de waardes waar of onwaar aan voor elk van de acht gelijktijdige evaluaties van de variabelen , en . Elke rij van de tabel (de rij met koptekst telt niet mee) komt overeen met een unieke gelijktijdige evaluatie. Dus de waarheidstabel in het geval van drie variabelen heeft acht rijen.
Laat een natuurlijk getal zijn en beschouw de waarheidstabel van de samengestelde propositie . We laten hulpkolommen buiten beschouwing.
Elk van de proposities kan twee waardes aannemen, dus er zijn gelijktijdige evaluaties van de variabelen voorkomend in . Elke rij van de waarheidstabel (de rij met koptekst telt niet mee) komt overeen met een unieke evaluatie, dus hebben we rijen. Elke rij kan gecompleteerd worden met de waarde van in de laatste kolom, wat ons weer twee mogelijkheden geeft (waar of onwaar). Dit betekent dat er verschillende waarheidstabellen zijn in het geval van variabelen.
Hierboven hebben we inderdaad gezien dat voor , dit aantal is. Als , is het aantal . Voor , zijn er al verschillende tabellen.
Is de propositie altijd waar?
Nee, de propositie is niet altijd waar.
We gebruiken de volgende waarheidstabel om het antwoord te vinden.
|
|
|
|
waar |
waar |
waar |
waar |
waar |
onwaar |
waar |
waar |
onwaar |
waar |
waar |
onwaar |
onwaar |
onwaar |
onwaar |
onwaar |
We concluderen dat
niet geldt voor alle waarden van en , en daarom, is deze propositie niet altijd waar.