Nu we weten welke uitspraken wiskundig gezien kunnen worden als een propositie, zullen we operaties definiëren om nieuwe proposities te maken uit bestaande. Deze operaties noemen we logische operaties en we duiden ze aan met logische operatoren. We kijken nu naar drie soorten logische operatoren. Eerst beschouwen we de operator die de toewijzing van waar of onwaar inverteert.
De negatie (ontkenning) van een propositie is het tegenovergestelde van de oorspronkelijke propositie. De ontkenning is waar precies wanneer de oorspronkelijke propositie onwaar is, en onwaar precies wanneer de oorspronkelijke propositie waar is.
Negatie wordt aangeduid met de niet-operator: #\neg#. Dus, als #\blue p# staat voor een propositie dan wordt de ontkenning ervan aangeduid met #\neg{\blue p}#.
Voorbeeld
De ontkenning van de propositie #\blue {\textrm{"Het regent."} }# wordt gegeven door #\blue{ \textrm{"Het regent} \textit{ niet."}}#.
Als #\blue {\textrm{"Het regent."}}# waar is, dan is #\blue{ \textrm{"Het regent} \textit{ niet." }}# onwaar.
Als #\blue {\textrm{"Het regent."}}# onwaar is, dan is #\blue{ \textrm{"Het regent} \textit{ niet." }}# waar.
Operator notatie: #\neg\blue {\textrm{"Het regent."}}#
Haakjes worden gebruikt om de onderdelen van uitspraken op een zodanige manier op te delen dat het duidelijk wordt bij welke delen operatoren horen. Dus, als #\blue p# staat voor een propositie dan kan haar ontkenning #\neg{\blue p}# ook worden geschreven als #\neg({\blue p})#.
In de propositie #{\blue p} = \blue {\neg(\textrm{"Het regent en de zon schijnt niet."})}# maken de haakjes duidelijk dat #\neg# de gehele uitspraak #\blue {\textrm{"Het regent en de zon schijnt niet."}}# omvat in plaats van alleen het eerste deel, zoals in #\blue {\neg(\textrm{"Het regent"})\textrm{ "en de zon schijnt niet."}}#. Natuurlijk helpen de aanhalingstekens in dit geval ook.
Het voorbeeld toont aan dat enig inzicht nodig is, waar het woord "niet" in de uitspraak moet worden toegevoegd om de ontkenning te krijgen. Maar er is een automatische manier om de propositie in haar ontkenning te veranderen: gewoon de woorden #\blue{\textit{"Het is niet waar dat"}}# voor de propositie zetten. Dus, het ontkennen van de propositie #\blue{\textrm{"Het regent."}}# zou leiden tot #\blue{\textit{"Het is niet waar dat } \textrm{het regent."}}#. De propositie #\blue{\textrm{"Het regent }\textit{niet."}}# kan worden gezien als een kortere versie hiervan.
Het gebruik van #\blue{\textit{"Het is niet waar dat"}}# vereist nog steeds enige voorzichtigheid. De propositie #\blue{ \text{"Ik houd van appels en ik houd van bananen."} }# heeft de ontkenning #\blue{ \textit{"Het is niet waar dat} \textrm{ Ik houd van appels en ik houd van bananen"} }#. Maar dit kan worden vereenvoudigd tot #\blue{ \textrm{"Ik houd }\textit{niet} \textrm{ van appels en ik houd }\textit{niet} \textrm{ van bananen." } }# of #\blue{\textrm{"Ik houd }\textit{niet} \textrm{ van appels en ik houd van bananen."}}#. Haakjes zijn een goede manier om deze onduidelijkheden te verhelpen.
Suggestie van Ernst voor tweede alinea:De negatie van een samengestelde propositie heeft betrekking op de propositie als geheel. De ontkenning van #\blue{ \text{"Ik houd van appels en ik houd van bananen."} }# is dus ondubbelzinnig #\blue{ \textit{"Het volgende is niet waar:} \textrm{ Ik houd van appels en ik houd van bananen."} }#, oftewel #\blue{ \textit{"Het is niet waar dat }\textrm{ik van zowel appels als bananen houd."} }#. Deze uitspraak verschilt van uitspraken zoals bijvoorbeeld #\blue{ \textrm{"Ik houd }\textit{niet} \textrm{ van appels en ik houd }\textit{niet} \textrm{ van bananen."}}# en #\blue{\textrm{"Ik houd }\textit{niet} \textrm{ van appels en ik houd van bananen."}}#, waarin de negaties slechts op afzonderlijke delen betrekking hebben in plaats van op de uitspraak als geheel.
Haakjes zijn een goede manier om deze verschillende proposities van elkaar te onderscheiden:
#\blue{\neg(\textrm{"Ik houd van appels en }}#
#\blue{\textrm{ik houd van bananen."})}#
#\blue{\neg(\textrm{"Ik houd van appels."})\textrm{ en }}# #\blue{\neg(\textrm{"Ik houd van bananen."})}#
#\blue{\neg(\textrm{"Ik houd van appels."})\textrm{ en }}#
#\blue{\textrm{"Ik houd van bananen."}}#
#\blue{\textrm{"Ik houd van appels."}\textrm{ en }}#
#\blue{\neg(\textrm{"Ik houd van bananen"})}#
#\blue{\textit{"Het is niet waar dat }\textrm{ik van}}# #\blue{\textrm{zowel appels als bananen houd."}}#
#\blue{\textrm{"Ik houd }\textit{niet}\textrm{ van appels en}}#
#\blue{\textrm{ik houd }\textit{niet}\textrm{ van bananen."}}#
#\blue{\textrm{"Ik houd }\textit{niet}\textrm{ van appels en}}#
#\blue{\textrm{ik houd van bananen."}}#
#\blue{\textrm{"Ik houd van appels en }}#
#\blue{\textrm{ik houd }\textit{niet}\textrm{ van bananen."}}#
We gebruiken vaak letters voor proposities om op een bondige manier uitspraken te doen. Stel dat #\blue p# staat voor een propositie, dan interpreteren we #\blue p# als afkorting voor deze propositie.
Later gaan we dieper in op variabelen.
We gaan nu in op de samenstelling van twee proposities die overeenkomen met de gebruikelijke conjunctie "en".
De conjunctie van twee proposities is een propositie die waar is precies wanneer beide originele proposities waar zijn. Als tenminste één van deze proposities onwaar is, dan is de conjunctie ook onwaar.
Conjunctie wordt aangeduid met de en-operator: #\land#. Dus, als #\blue {p}# en #\blue q# proposities zijn, dan wordt hun conjunctie aangeduid door #{\blue p}\land {\blue q}#.
Voorbeeld
De conjunctie #\blue {\textrm{"Ik houd van bonen }\textit{en} \textrm{ uien."}}# is precies waar wanneer de proposities #\blue {\textrm{"Ik houd van bonen."}}# en #\blue {\textrm{"Ik houd van uien."}}# beide waar zijn.
Wanneer ten minste één van deze proposities onwaar is, dan is #\blue {\textrm{"Ik houd van bonen }\textit{en}\textrm{ uien."}}# ook onwaar.
Operator notatie: #\blue {\textrm{"Ik houd van bonen."}} \land \blue{\text{"Ik houd van uien."}}#.
De en-operator, #\land#, is een zogenaamde infix operator.
We zeggen dat een operator een infix is als het tussen de argumenten wordt geschreven. De meest gebruikelijke manier van het schrijven van een operator #f# op twee argumenten #\blue p# en #\blue q# is #f({\blue p},{\blue q})#, maar door te zeggen dat de operator infix is bedoelen we dat het effect van #f# op #\blue p# en #\blue q# te schrijven is als #{\blue p}f{\blue q}#. Hier, met #f = \land#, wordt het resultaat #{\blue p}\land {\blue q}#.
Andere voorbeelden van infix operators zijn de gebruikelijke "#+#" en "#\times#" van de rekenkunde.
Haakjes worden gebruikt om de onderdelen van uitspraken op een zodanige manier op te delen dat het duidelijk wordt bij welke delen operatoren horen. Bijvoorbeeld, #\blue {(\text{"Het is niet waar dat het regent"})\textit{ en } \text{"de zon schijnt niet."}}# kan worden geschreven als #\blue { ( \text{"Het is niet waar dat het regent"}) \land ({\text{"en de zon schijnt niet."})}}#, waarbij de haakjes duidelijk maken wat de argumenten van de
en-operator zijn. Door de
niet-operator buiten de twee argumenten te haken krijgen we dat onze conjunctie geschreven kan worden als \[\blue { \neg ( \text{"Het regent."}) \land \neg({\text{"de zon schijnt."})}}\]
De eerste
niet-operator wordt toegepast op #\blue { \textrm{"Het regent."}}# en het heeft geen effect op de propositie #\blue { \textrm{"de zon schijnt niet."}}#. De tweede
niet-operator komt van het woord "niet" in #\blue { \textrm{"de zon schijnt niet."}}# en het werkt op #\blue { \textrm{"de zon schijnt."}}#. Dus de argumenten van de
en-operator zijn #\blue{\neg p}# en #\blue{\neg q}# waarbij #\blue p# is #\blue{\textrm{"Het regent."}}# and #\blue q# is #\blue {\textrm{"de zon schijnt."}}#. Formeel kunnen we de conjunctie schrijven als #\blue{\neg p} \wedge \blue{\neg q}#.
We moeten voorzichtig zijn bij het plaatsen van haakjes en het bereik van de logische operator begrijpen. We willen niet onze beginconjunctie verwarren met een andere uitdrukking die iets anders uitdrukt (bijvoorbeeld #\neg (\blue{p \wedge q})#). Wanneer we
prioriteiten introduceren, vinden we een unieke manier van het plaatsen van haakjes.
Zoals we konden verwachten, gaan we nu in op de samenstelling van twee proposities die correspondeert met de gebruikelijke disjunctieve "of".
De disjunctie van twee proposities is een propositie die waar is wanneer ten minste één van de oorspronkelijke proposities waar is. De disjunctie is alleen onwaar wanneer beide originele proposities onwaar zijn.
Disjunctie wordt aangeduid met de of-operator: #\lor#. Dus, als #\blue {p}# en #\blue q# proposities zijn, dan wordt hun disjunctie aangeduid door #{\blue p}\lor {\blue q}#.
Voorbeeld
De disjunctie #\blue{\textrm{"Ik reis met de auto }\textit{of} \textrm{ met de trein."}}# is waar wanneer ten minste één van de proposities #\blue{\textrm{"Ik reis met de auto."}}# of #\blue{\textrm{"Ik reis met de trein."}}# waar is. Als beide proposities onwaar zijn, dan is de propositie #\blue{\text{"Ik reis met de auto }\textit{of}\textrm{ met de trein."}}# onwaar.
Operator notatie: #\blue{\text{"Ik reis met de auto."}} \lor \blue{\text{"Ik reis met de trein."}}#.
Net als voor "en" staat de operator "of" normaal gesproken tussen de twee proposities waarop de operator wordt toegepast. Dit maakt ook "of" een infix operator.
De propositie die ontstaat uit het combineren van twee proposities met "of" is waar als ten minste één van de oorspronkelijke proposities waar is. In het bijzonder, als #{\blue p}# en #{\blue q}# beide waar zijn, dan is ook #{\blue p}\lor {\blue q}# waar.
Het feit dat #{\blue p}\lor {\blue q}# waar is wanneer zowel #{\blue p}# als #{\blue q}# waar zijn, betekent dat de "of" die we gebruiken niet exclusief is.
De exclusieve of-operator wordt vaak aangeduid met de infix operator #\textrm{xor}#, ook bekend als #\underline{\lor}# en #\oplus#. De propositie #\blue p \underline{\lor} \blue q# is waar wanneer precies één van #\blue p# en #\blue q# waar is. In het bijzonder is #\blue p \underline{\lor} \blue q# onwaar wanneer #\blue p# en #\blue q# beide waar zijn.
In onze dagelijkse taal stellen we vaak vragen met de operator "of". De betekenis in onze dagelijkse taal verschilt echter van het gebruik in de wiskunde.
Als we in normale taal vragen #\blue{p\textit{ of }q}#?, verwachten we dat het antwoord ofwel #\blue{p}# ofwel #\blue{q}# is.
In de wiskunde zal het antwoord "waar" of "onwaar" zijn, afhankelijk van de vraag of ten minste één van de proposities #\blue p# en #\blue q# waar is.
Bijvoorbeeld, in normale taal kan het antwoord op de vraag
#\blue{\textrm{"Is Beatrice een inwoner van een staat }\textit{of} \textrm{ staatloos?"}} #
zijn #\blue{\textrm{"Beatrice is een inwoner van een staat."}}# of #\blue{\text{"Beatrice is staatloos."}}#.
In de wiskunde zou het antwoord echter zijn #\blue{\textrm{"Ja, Beatrice is een inwoner van een staat }\textit{of} \textrm{ staatloos"}}#, omdat ten minste één van de uitdrukkingen #\blue{\textrm{"Beatrice is een inwoner van een staat."}}# en #\blue{\textrm{"Beatrice is staatloos."}}# waar moet zijn.
De behoefte aan haakjes wordt duidelijker nu we meer operatoren hebben. Bijvoorbeeld #\blue {\textrm{"Het regent }\textit{en } \textrm{de zon schijnt niet}\textit{ of } \textrm{het is warm."}}# is dubbelzinnig omdat het kan betekenen dat
\[\blue {\left(\textrm{"Het regent."} \land \neg{\textrm{"de zon schijnt."}}\right) } \lor \blue{ \textrm{"Het is warm."}}\] of \[\blue {\textrm{"Het regent."}} \land \blue{\left(\neg{\textrm{"de zon schijnt."}} \lor \textrm{"Het is warm."}\right)}\] De twee interpretaties vertegenwoordigen proposities die
inequivalent zijn, dat wil zeggen dat er een situatie is waar één van beide waar is en de andere onwaar is. Inderdaad, als het niet regent, de zon schijnt en het warm is dan is de eerste interpretatie waar en de tweede onwaar.
Later zullen we een oplossing bieden door het opleggen van
prioriteiten, wat zal leiden tot een unieke manier van het plaatsen van haakjes.
Welke logische operatoren worden er gebruikt in de volgende propositie?
\[\text{Ik reis met de trein of met de fiets}\]
Disjunctie
De propositie "Ik reis met de trein of met de fiets" bevat een disjunctie. De twee delen zijn "Ik reis met de trein" en "Ik reis met de fiets", en deze twee delen worden verbonden door de of-operator.
Er is hier geen sprake van negatie of conjunctie.
Negatatie, conjunctie en disjunctie
