Proposities als variabelen

Logica: Propositielogica

Proposities als variabelen

Nu we alle basisingrediënten van de logica hebben gezien, introduceren we een efficiëntere manier om proposities op te schrijven. We hebben gezien dat samengestelde proposities erg lange zinnen kunnen worden, wat niet ideaal is. Eerder hebben we al de letters $\blue p$ and $\blue q$ gebruikt om proposities af te korten. Hier introduceren we propositieletters. Dit zijn variabelen die staan voor proposities.

Propositieletters voor enkelvoudige proposities

Voorbeeld

In het algemeen gebruiken we de geïndexeerde letters $\blue{p_1}, \blue{p_2},\ldots$ om proposities te omschrijven. We noemen deze propositieletters of variabelen.

Als het aantal proposities waarmee we werken relatief klein is, kunnen we ook de letters $\blue p,\blue q, \blue r, \ldots$ gebruiken om proposities te omschrijven.

Beschouw de propositie $\blue p\rightarrow (\blue q\land\blue r)$ , waar $\blue p$ , $\blue q$ , $\blue r$ variabelen zijn. Stel nu

$\begin{array}{rcl}\blue p&=& \blue{\text{"Chris is ziek."}}\\ \blue q&=&\blue{\text{"Chris blijft thuis."}}\\ \blue r&=&\blue{\text{"Chris eet soep."}}\end{array}$ dan wordt de propositie $\blue{\textit{"Als}\textrm{ Chris ziek is, }}$
$\blue{\textit{dan}\textrm{ blijft hij thuis en eet hij soep."}}$

Propositieletters zijn niet alleen handig om concrete proposities af te korten, maar ze stellen ons ook in staat om met abstracte proposities, die geen concrete uitspraken voorstellen, te werken.

Maar als we in plaats daarvan hebben dat

$\begin{array}{rcl}\blue p&=& \blue{\text{"Denise is bij haar vriend."}}\\ \blue q&=& \blue{ \text{"Denise speelt spelletjes."}} \\ \blue r&=& \blue{\text{"Denise eet soep."}}\end{array}$ dan wordt de propositie $\blue{ \textit{"Als}\textrm{ Denise bij haar vriend is, }}$
$\blue{\textit{dan}\textrm{ speelt ze spelletjes en eet ze soep."}}$

Propositieletters met indices

Propositieletters met indices, zoals $\blue{p_1}, \blue{p_2},\ldots, \blue{p_n}$ , kunnen nuttig zijn in een aantal situaties.

Ze stellen ons in staat om te verwijzen naar $n$ als het aantal proposities en we kunnen algemene uitspraken doen over proposities waarin meerdere enkelvoudige proposities voorkomen.

Wanneer we de waarheid van een samengestelde propositie willen aanduiden gebruik makende van een willekeurig aantal van $n$ enkelvoudige proposities, dan kunnen we zeggen "Voor alle proposities $\blue{p_1},\ldots,\blue{p_n}$ is de samengestelde propositie waar". Dit is niet mogelijk als we $\blue p, \blue q, \blue r, \ldots$ gebruiken.

Propositieletters met indices kunnen ook worden gebruikt om proposities te verbinden met indices, zoals te zien in het volgende voorbeeld.

Voorbeeld

De volgende situatie illustreert hoe propositieletters met indices nuttig kunnen zijn. We definiëren

$\begin{array}{cclcl} \blue{p_1}&=&\blue{\text{"Julie heeft }}&\blue{1}&\blue{\text{ kind"}}\\ \blue{p_2}&=&\blue{\text{"Julie heeft }}&\blue{2}&\blue{\text{ kinderen"}}\\ \vdots &&& \vdots&\\ \blue{p_n}&=&\blue{\text{"Julie heeft }}&\blue{n}&\blue{\text{ kinderen"}}\end{array}$

Deze notatie met indices maakt meteen duidelijk wat er bedoeld wordt met $\blue{p_{11}}$ . Wanneer we $\blue p, \blue q,\blue r,\ldots$ gebruiken als propositieletters, zou dezelfde propositie worden aangeduid met $\blue z$ . Het is veel lastiger om te zien welke propositie wordt bedoeld met $\blue z$ .

Andere propositieletters
We kunnen ook andere letters gebruiken als we denken dat dit nuttiger is voor een specifieke context.

In onderstaand voorbeeld gebruiken we de eerste letter van elke naam als de bijbehorende propositieletter. Dit maakt het makkelijk om te onthouden welke propositie bij welke propositieletter hoort.

$\begin{array}{rcl} \blue a&=& \blue{\text{"Amy werkt."}}\\ \blue b&=&\blue{\text{"Ben werkt."}}\\ \blue c&=&\blue{\text{"Chris werkt."}}\end{array}$

Boolean
De propositieletters kunnen worden gezien als Boolean variabelen. Dit betekent dat ze precies twee waarden aan kunnen nemen. In ons geval zijn deze waarden waar en onwaar. In verschillende andere situaties worden deze waarden aangeduid door $0$ en $1$ .

We geven de voorkeur aan het gebruik van de ter $\phantom{}$ m propositieletter in plaats van Boolean variabele, omdat het ons herinnert aan het feit dat we concrete proposities kunnen substitueren voor deze variabelen.

Nu we variabelen hebben voor proposities, introduceren we nog wat meer notatie voor samengestelde proposities.

Variabelen voor samengestelde proposities

We gebruiken ook Griekse hoofdletters zoals $\green{\Phi}, \green{\Psi}, \green{\Theta}, \ldots$ om proposities mee aan te duiden. Deze gebruiken we voornamelijk voor samengestelde proposities.

Laat $\green{\Phi}$ een propositie zijn die is opgebouwd uit $n$ verschillende proposities $\blue{p_1}, \blue{p_2},\ldots,\blue{p_n}$ door middel van logische operatoren. Dan schrijven we ook wel

$\green{\Phi}(\blue{p_1},\ldots, \blue{p_n} )$ in plaats van $\green{\Phi}$ als we de afhankelijkheid van $\blue{p_1},\blue{p_2},\ldots,\blue{p_n}$ duidelijk willen maken.

Voorbeeld

Zij $\green{\Phi}= \blue p\rightarrow (\blue q\land\blue r)$ .
Dan schrijven we ook wel $\green{\Phi} = \green{\Phi}(\blue p,\blue q,\blue r)$ om de afhankelijkheid van $\blue p$ , $\blue q$ , $\blue r$ aan te duiden.

Dit maakt substituties makkelijk. Zo kunnen we bijvoorbeeld de verschillende concrete proposities uit het voorbeeld met Chris en Denise substitueren voor $\blue p$ , $\blue q$ , en $\blue r$ . Ook kunnen we bijvoorbeeld $\blue p$ substitueren voor $\blue q$ en voor $\blue r$ om zo de propositie

$\green{\Phi}(\blue p, \blue p, \blue p) = \blue p\rightarrow(\blue p\land\blue p)$ te verkrijgen, die altijd waar is.

De proposities $\blue{p_1}, \blue{p_2},\ldots,\blue{p_n}$ die voorkomen in $\green{\Phi}$ hoeven geen enkelvoudige proposities te zijn. Toch gedragen ze zich als enkelvoudige proposities wanneer we ze beschouwen als variabelen. Met andere woorden: wanneer de variabele $\blue{p_1}$ voorkomt in een samengestelde propositie $\green{\Phi}$ , weten we alleen maar dat de propositieletter $\blue{p_1}$ voorkomt in $\green{\Phi}$ . Maar als we

$\blue{ \textrm{"Vandaag ga ik naar school }\textit{en}\textrm{ ga ik mijn huiswerk }\text{niet}\textrm{ maken."}}$ substitueren voor $\blue{p_1}$ , dan komen er logische operatoren voor in $\blue{p_1}$ .

Enkelvoudige proposities
Ook al zijn Griekse hoofdletters voornamelijk bedoeld voor samengestelde proposities, gebruiken we ze soms ook wel voor enkelvoudige proposities.

Bijvoorbeeld, als we de proposities $\blue p$ en $\blue p\lor(\blue q\land\neg\blue q)$ willen vergelijken, kunnen we

$\begin{array}{rcl}\green{\Phi}&=& \blue p\\\green{\Psi}&=& \blue p\lor(\blue q\land \neg\blue q)\end{array}$ definiëren. Nu is $\blue q\land\neg\blue q$ altijd onwaar, dus voor alle waardes van $\blue p$ en $\blue q$ heeft $\blue p\lor(\blue q\land \neg\blue q)$ dezelfde waarde (waar of onwaar) als $\blue p$ . In de definitie van de bi-implicatie zagen we dat $\green{\Phi}$ en $\green{\Psi}$ daarom equivalent zijn. Later komen we terug op het begrip equivalentie.

We definiëren

$\begin{array}{rcl}p&=&\text{"Julia gaat op de fiets naar school."}\\q&=&\text{"Het is regenachtig."}\\r&=&\text{"Het is zonnig."}\end{array}$ Schrijf de samengestelde propositie $\Phi$ gegeven door

$\Phi=$ "Julia gaat met de fiets naar school dan en slechts dan als het regenachtig of zonnig is."
met de propositieletters $p$ , $q$ , en $r$ . Gebruik elke letter precies één keer.

$\Phi=$ $p\leftrightarrow(q\lor r)$

We substitueren de letters $p$ , $q$ , en $r$ voor de bijbehorende enkelvoudige proposities in $\Phi$ . Dan vinden we " $p$ dan en slechts dan als $q$ of $r$ ". We plaatsen nu haakjes en substitueren de symbolen $\leftrightarrow$ en $\lor$ voor de juiste woorden in $\Phi$ . Dan vinden we $\Phi=$ $p\leftrightarrow(q\lor r)$ .

Nieuw voorbeeld