Logica: Propositielogica
Proposities als variabelen
Nu we alle basisingrediënten van de logica hebben gezien, introduceren we een efficiëntere manier om proposities op te schrijven. We hebben gezien dat samengestelde proposities erg lange zinnen kunnen worden, wat niet ideaal is. Eerder hebben we al de letters #\blue p# and #\blue q# gebruikt om proposities af te korten. Hier introduceren we propositieletters. Dit zijn variabelen die staan voor proposities.
Propositieletters voor enkelvoudige proposities
Voorbeeld |
|
In het algemeen gebruiken we de geïndexeerde letters #\blue{p_1}, \blue{p_2},\ldots# om proposities te omschrijven. We noemen deze propositieletters of variabelen. Als het aantal proposities waarmee we werken relatief klein is, kunnen we ook de letters #\blue p,\blue q, \blue r, \ldots# gebruiken om proposities te omschrijven. |
Beschouw de propositie \(\blue p\rightarrow (\blue q\land\blue r)\), waar #\blue p#, #\blue q#, #\blue r# variabelen zijn. Stel nu \[\begin{array}{rcl}\blue p&=& \blue{\text{"Chris is ziek."}}\\ \blue q&=&\blue{\text{"Chris blijft thuis."}}\\ \blue r&=&\blue{\text{"Chris eet soep."}}\end{array}\] dan wordt de propositie #\blue{\textit{"Als}\textrm{ Chris ziek is, }}# |
Propositieletters zijn niet alleen handig om concrete proposities af te korten, maar ze stellen ons ook in staat om met abstracte proposities, die geen concrete uitspraken voorstellen, te werken. |
Maar als we in plaats daarvan hebben dat \[\begin{array}{rcl}\blue p&=& \blue{\text{"Denise is bij haar vriend."}}\\ \blue q&=& \blue{ \text{"Denise speelt spelletjes."}} \\ \blue r&=& \blue{\text{"Denise eet soep."}}\end{array}\] dan wordt de propositie #\blue{ \textit{"Als}\textrm{ Denise bij haar vriend is, }}# #\blue{\textit{dan}\textrm{ speelt ze spelletjes en eet ze soep."}}# |
Nu we variabelen hebben voor proposities, introduceren we nog wat meer notatie voor samengestelde proposities.
Variabelen voor samengestelde proposities
We gebruiken ook Griekse hoofdletters zoals #\green{\Phi}, \green{\Psi}, \green{\Theta}, \ldots# om proposities mee aan te duiden. Deze gebruiken we voornamelijk voor samengestelde proposities.
Laat #\green{\Phi}# een propositie zijn die is opgebouwd uit #n# verschillende proposities #\blue{p_1}, \blue{p_2},\ldots,\blue{p_n}# door middel van logische operatoren. Dan schrijven we ook wel \[\green{\Phi}(\blue{p_1},\ldots, \blue{p_n} )\] in plaats van #\green{\Phi}# als we de afhankelijkheid van #\blue{p_1},\blue{p_2},\ldots,\blue{p_n}# duidelijk willen maken.
Voorbeeld
Zij #\green{\Phi}= \blue p\rightarrow (\blue q\land\blue r)#.
Dan schrijven we ook wel #\green{\Phi} = \green{\Phi}(\blue p,\blue q,\blue r)# om de afhankelijkheid van #\blue p#, #\blue q#, #\blue r# aan te duiden.
Dit maakt substituties makkelijk. Zo kunnen we bijvoorbeeld de verschillende concrete proposities uit het voorbeeld met Chris en Denise substitueren voor #\blue p#, #\blue q#, en #\blue r#. Ook kunnen we bijvoorbeeld #\blue p# substitueren voor #\blue q# en voor #\blue r# om zo de propositie
\[\green{\Phi}(\blue p, \blue p, \blue p) = \blue p\rightarrow(\blue p\land\blue p)\] te verkrijgen, die altijd waar is.
\[\begin{array}{rcl}p&=&\text{"Paulo rijdt in zijn auto."}\\q&=&\text{"Het is zonnig."}\\r&=&\text{"Het is warm."}\end{array}\]Schrijf de samengestelde propositie #\Phi# gegeven door
#\Phi=# "Paulo rijdt in zijn auto dan en slechts dan als het zonnig en warm is."
met de propositieletters #p#, #q#, en #r#. Gebruik elke letter precies één keer.
We substitueren de letters #p#, #q#, en #r# voor de bijbehorende enkelvoudige proposities in #\Phi#. Dan vinden we "#p# dan en slechts dan als #q# en #r#". We plaatsen nu haakjes en substitueren de symbolen #\leftrightarrow# en #\land# voor de juiste woorden in #\Phi#. Dan vinden we #\Phi=# #p\leftrightarrow (q\land r)#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.