We hebben het gehad over het begrip verzameling en deelverzameling . In calculus, ligt de focus op 'functies' tussen (deel)verzamelingen van reële getallen. Later zullen we het concept functies bespreken. Hier zullen we ons richten op (deel)verzamelingen van de reële getallen. Een verzameling van reële getallen waarbij alle reële getallen tussen twee getallen in de verzameling zitten wordt een begrensd interval genoemd.
Denk aan het begrensde interval van alle reële getallen tussen #1# en #5#. Het is intuïtief dat de getallen #\pi# en #4# in dit interval zitten. Maar hoe zit het met de getallen #1# of #5#; zitten deze ook in het interval? Om dit te beantwoorden bespreken we vier verschillende soorten begrensde intervallen
Zij #\blue c#, #\green d# twee reële getallen met #\blue c \le \green d#. We definiëren de volgende vier soorten begrensde intervallen.
| Naam interval |
Interval notatie |
Impliciete definitie |
Voorbeeld |
| open |
#\ivoo{\blue c}{\green d}# |
#\{x\in\mathbb{R}\mid \blue c\lt x\lt \green d\}# |
#\ivoo{\blue 3}{\green 8} = \{x\in\mathbb{R}\mid \blue 3 \lt x\lt \green 8\}# |
| gesloten |
#\ivcc{\blue c}{\green d}# |
#\{x\in\mathbb{R}\mid \blue c\le x\le \green d\}# |
#\ivcc{\blue 3}{\green 8} = \{x\in\mathbb{R}\mid \blue 3 \le x\le \green 8\}# |
| open-gesloten |
#\ivoc{\blue c}{\green d}# |
#\{x\in\mathbb{R}\mid \blue c\lt x\le \green d\}# |
#\ivoc{\blue 3}{\green 8} = \{x\in\mathbb{R}\mid \blue 3 \lt x\le \green 8\}# |
| gesloten- open |
#\ivco{\blue c}{\green d}# |
#\{x\in\mathbb{R}\mid \blue c\le x\lt \green d\}# |
#\ivco{\blue 3}{\green 8} = \{x\in\mathbb{R}\mid \blue 3 \le x\lt \green 8\}# |
Het punt #\blue c# wordt de linkergrens of het linker eindpunt genoemd en het punt #\green d# de rechtergrens of het rechter eindpunt van het interval. De punten #\blue c# en #\green d# worden de eindpunten of grenspunten genoemd van het interval.
Punten #x\in\mathbb{R}# met #\blue c\lt x\lt \green d# heten inwendige punten van het interval.
De lengte van het interval is #\left|\blue c- \green d\right|#.
De verzameling #\mathbb{R}# van reële getallen kan worden gevisualiseerd als de reële lijn. Elementen van een lijn worden vaak punten genoemd. Dit verklaart waarom we spreken van reële getallen als punten van de reële lijn.
Elk reëel getal kan worden geassocieerd met een enkel punt op de reële lijn. Daardoor kan een interval worden weergegeven door een segment van de reële getallenlijn.
Voorbeeld
#{}#
#\ivoo{\blue 3}{\green 8} = \{x\in\mathbb{R}\mid \blue 3 \lt x\lt \green 8\}#
#{}#
#\ivcc{\blue 3}{\green 8} = \{x\in\mathbb{R}\mid \blue 3 \le x\le \green 8\}#
#{}#
#\ivco{\blue 3}{\green 8} = \{x\in\mathbb{R}\mid \blue 3 \le x\lt \green 8\}#
#{}#
#\ivoc{\blue 3}{\green 8} = \{x\in\mathbb{R}\mid \blue 3 \lt x\le \green 8\}#
Op het segment van de reële getallenlijn, markeren we eindpunten met een bolletje. Als het interval tussen ronde haken staat dan is de binnenkant van het bolletje leeg en als het interval tussen blokhaken staat dan is het bolletje ingekleud.
In logica , staat de operator #\land# voor "en", en een keten van ongelijkheden als # \blue c\le x\le \green d# is een afkorting van #x \ge \blue c \text{ en } x \le \green d#, dus kunnen we het interval #\ivcc{\blue c}{\green d}# als volgt schrijven \[\{x\in\mathbb{R}\mid \blue c\le x\le \green d\}\quad \text{ of} \quad\{x\in\mathbb{R}\mid x \ge \blue c \land x \le \green d\}\]
Als #\blue c=\green d#, dan bestaat de verzameling uit een enkel punt #\blue c# en als #\blue c\gt \green d#, dan is het de lege verzameling.
Bijvoorbeeld,
- #\{x\in\mathbb{R}\mid x \ge \blue{-2} \land x \le \green{5} \} = \ivcc{\blue{-2}}{\green{5}}#
- #\{x\in\mathbb{R}\mid x \ge \blue{-3} \land x \le \green{-3} \} = \{\blue{-3}\}#
- #\{x\in\mathbb{R}\mid x \ge \blue{3} \land x \le \green{-3} \} = \emptyset#
Een begrensd interval is een interval waarvan de eindpunten reële getallen zijn. Begrensde intervallen worden ook wel eindige intervallen genoemd. Het bijvoeglijk naamwoord eindige betekent dat de lengte van het interval eindig is ; het betekent niet dat het interval eindig is.
Eigenlijk zijn de enige intervallen die een eindige verzameling zijn van de vorm #\ivcc{\blue c}{\blue c}# voor een reëel getal #\blue c#. Dus een meer nauwkeurige beschrijving van een begrensd interval is een interval met een eindige lengte.
Er zijn ook onbegrensde intervallen. In dit geval is er hooguit één reëel eindpunt. Als er geen linker eindpunt is, dan zeggen we dat #-\infty# het linker eindpunt is, wat geen reëel getal is. Ook als er geen rechter eindpunt is, gebruiken we de notatie #\infty# om het ontbrekende rechter eindpunt te vervangen.
Zij #\blue c#, #\green d# twee reële getallen. We definiëren de volgende onbegrensde intervallen
| Naam interval |
Interval notatie |
Set-builder notatie |
Voobeeld |
| links open |
#\ivoo{\blue c}{\infty}# |
#\{x\in\mathbb{R}\mid x \gt \blue c \}# |
#\ivoo{\blue 3}{\infty} = \{x\in\mathbb{R}\mid x\gt \blue 3\}# |
| links gesloten |
#\ivco{\blue c}{\infty}# |
#\{x\in\mathbb{R}\mid x \ge \blue c \}# |
#\ivco{\blue 3}{\infty} = \{x\in\mathbb{R}\mid x\ge \blue 3\}# |
| rechts gesloten |
#\ivoc{-\infty}{\green d}# |
#\{x\in\mathbb{R}\mid x \le \green d\}# |
#\ivoc{-\infty}{\green 8} = \{x\in\mathbb{R}\mid x \le \green 8\}# |
| rechts open |
#\ivoo{-\infty}{\green d}# |
#\{x\in\mathbb{R}\mid x\lt \green d\}# |
#\ivoo{-\infty}{\green 8} = \{x\in\mathbb{R}\mid x \lt \green 8\}# |
Het interval #\ivoo{-\infty}{\infty}# is onbegrensd aan beide uiteinden (tegelijk open en gesloten). Het is in feite de verzameling van alle reële getallen #\mathbb{R}#. Let erop dat de haakjes naast een oneindig teken altijd open zijn.
De symbolen #\infty# en #-\infty# vertegenwoordigen "oneindig" en "min oneindig".
Intuïtief moet oneindig groter dan elk reëel getal zijn, terwijl min oneindig kleiner moet zijn dan elk reëel getal. Met behulp van deze intuïtie zullen we zorgen voor ongelijkheden met de symbolen #\infty# en #-\infty#.
De conventie is dat #-\infty \lt x# en #x\lt \infty# voor elk reëel getal #x#. Aldus \[\{x\in\mathbb{R}\mid x\le \green d\}=\{x\in\mathbb{R}\mid -\infty\lt x\le \green d\}\]
Een onbegrensd interval kan ook worden vertegenwoordigd door een segment van de reële getallenlijn. We maken gebruik van een oneindige eindpunt om aan te geven dat er geen sprake is grens in de positieve richting, en min oneindig om aan te geven dat er geen grens is in de negative richting.
Voorbeeld
#{}#
# \ivoo{\blue 3}{\infty} = \{x \in \mathbb {R} \mid x \ge \blue 3 \} #
#{}#
# \ivco{\blue 3}{\infty} = \{x \in \mathbb {R} \mid x \gt \blue 3 \} #
#{}#
#\ivoo{-\infty}{\green 8} = \{x\in\mathbb{R}\mid x \lt \green 8\}#
#{}#
#\ivoc{-\infty}{\green 8} = \{x\in\mathbb{R} \mid x \le \green 8\}#
De logische operator #\lor# betekent "of". Zo kan de verzameling #\{x\in\mathbb{R}\mid x \le \green d \text{ of } x \gt \blue c\}# ook worden geschreven als #\{x\in\mathbb{R}\mid x \le \green d \lor x \gt \blue c\}#.
Als #{\blue c}\le {\green d}#, dan is deze verzameling de gehele reële lijn #\mathbb{R}#.
Schrijf de verzameling # \{x\in\mathbb{R}\mid 5 \le x \lt 10\}# in de interval notatie.
#\ivco{5}{10}#
De interval notatie #\{x\in\mathbb{R}\mid 5 \le x \lt 10\}# is #\ivco{5}{10}#.
Intervallen
