In dit hoofdstuk gaan we het hebben over een van de meest fundamentele concepten van de wiskunde: verzamelingen. Onder een verzameling verstaan we een verzameling van objecten. Het woord object kan over van alles gaan van mensen tot het universum, van een getal tot een woord. Zoals verwacht gaan we het vooral hebben over wiskundige concepten. Met verzamelingen kan onderscheid gemaakt worden tussen specifieke objecten (die in de verzameling liggen) en andere objecten (die erbuiten liggen). De objecten in de verzameling worden elementen ervan genoemd.

We gaan het hebben over twee manieren om een element uit een verzameling te identificeren. De eenvoudigste manier, die goed werkt voor verzamelingen met een gemiddelde grootte, is opsomming. Het is gebruikelijk om de elementen tussen accolades te zetten. Dus, #\{1,2,3,4,5\}# geeft de verzameling gehele getallen tussen (en inclusief) #1# en #5# aan. Bijvoorbeeld de reële getallen kunnen onmogelijk opgesomd worden, dus opsomming is niet altijd mogelijk.. Zelfs als van een verzameling de elementen opgesomd kunnen worden, is de opsomming niet altijd be beste methode om de elementen van de verzameling precies te identificeren. Een typisch voorbeeld is de verzameling van even gehele getallen. Opsomming door middel van punten, zoals #\{\ldots,-6,-4,-2,0,2,4,6,\ldots\}# is niet erg nauwkeurig en sluit niet elk misverstand uit.

Onze tweede werkwijze definieert een verzameling #A# door middel van een uitspraak die voor elk object beslist of het een element is van #A#. Deze zogenaamde impliciete definitie van een verzameling beschrijft een verzameling zeer precies. De verzameling van de even gehele getallen wordt bijvoorbeeld beschreven als de verzameling van alle getallen die een geheel veelvoud zijn van 2. Ook hier is het gebruikelijk om accolades te gebruiken, bijvoorbeeld\[\left\{\left.n \text{ element van }\mathbb{Z}
\,\right|\,n = 2\cdot m\text{ voor een geheel getal }m\right\}\]
Een complicatie bij het beschrijven van verzamelingen is het feit dat de uitspraken die gebruikt worden om een verzameling te beschrijven, moeten leiden tot een beslissing of een object een element is van de verzameling of niet. Of op z'n minst niet leidt tot een tegenspraak. Het zal geen verrassing zijn dat het hoofdstuk Logica hier goed van pas komt.

Operaties op verzamelingen vormen het volgende onderwerp. Een voorbeeld van zo'n operatie is de doorsnede: als #A# en #B# twee verzamelingen zijn (niet noodzakelijk verschillend), dan is de doorsnede van #A# en #B# de verzameling #C# van alle objecten die zowel element zijn van #A# als van #B#. Als voorbeeld bekijken we de verzamelingen #A=\{1,2,3,4\}# en #B=\{2,4,6,8,10\}#, de doorsnede van #A# en #B# is dan #C=\{2,4\}#. Samenstellingen van zulke operaties voldoen aan enkele regels die worden besproken in dit hoofdstuk.

Een andere operatie die besproken wordt, is de constructie van de verzameling bestaande uit alle paren van elementen, bestaande uit één element uit een gespecificeerde verzameling #A# en de andere uit een gespecificeerde verzameling #B#. Als #A# en #B# beide de verzameling reële getallen zijn, dan valt deze constructie samen met het platte vlak. Een verzameling met (niet noodzakelijk alle) elementen van dit zogenoemde Cartesisch product van #A# en #B#, wordt geïnterpreteerd als een relatie tussen de twee verzamelingen. We zullen laten zien hoe, voor verzamelingen met een beheersbare grootte, zo'n relatie gevisualiseerd kan worden. Als laatste zal een ander fundamenteel wiskundig concept, namelijk dat van een functie, worden uitgelegd met betrekking tot verzamelingen.

Het idee van een verzameling is vrij eenvoudig, maar de wiskundige vertakkingen zijn heel complex. In dit inleidende hoofdstuk bespreken we alleen de basis.