We bespreken de impliciete definitie van een verzameling. Dit is een andere manier om een verzameling te beschrijven.
In de impliciete definitie wordt een verzameling #\blue A# beschreven aan de hand van een uitspraak #P# die moet gelden voor een element #a# om te behoren tot #\blue A#.
Dit betekent dat een object #a# een element van #\blue A# is dan en slechts dan als uitspraak #P# geldt voor #a#.
De bijbehorende notatie is #\blue A = \{a \mid P \}#. Dit kan worden gelezen als "De verzameling #\blue A# bestaat uit alle elementen #a# die voldoen aan #P# ".
We maken gebruik van de volgende twee methoden om de impliciet gedefinieerde verzameling beknopter weer te geven. Hier geldt, #P# is een uitspraak, #S# is een verzameling, en #f(x)# is een uitdrukking met #x#.
- #\{a\in S \mid P \} =\{a \mid P \land \left(a\in S\right)\}#
- #\{f(x) \mid P \} =\{a \mid P \land a=f(x)\}#
Voorbeeld
\[\begin{array}{rcl}\blue{\mathbb{Z}}&=&\{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}\\&& \\ \blue {\mathbb{Z}}&=&\{x \mid x ~\text{is een geheel getal} \} \end{array}\]
De verzameling van even gehele getallen is
\[\left\{x\,\left|\, x\in\mathbb{Z} \text{ en } 2 \text{ deelt } x\right.\right\}\]
Deze kan ook worden gegeven in een van de volgende vormen.
- #\left\{a\in\mathbb{Z}\,\left|\, 2 \text{ deelt } a\right.\right\}#
- #\left\{2x\,\left|\,x\in\mathbb{Z}\right.\right\}#
Als we hebben\[ P = a\in \mathbb{Z} \text{ en } a \lt 10\text{ en } a\gt 0\] dan is #\left\{a\mid P\right\}# de verzameling van alle natuurlijke getallen kleiner dan #10#.
Als we in plaats daarvan hebben \[ P = \left(\rv{x,y}\text{ ligt op de eenheidscirkel rond de oorsprong}\right)\] dan is #\left\{ \rv{x,y} \mid P \right\}# de verzameling van punten in het reële vlak op de eenheidscirkel.
Als #P# altijd onwaar is, dan #\blue A=\emptyset#.
Als #P # altijd waar is, dan is #\blue A# het "universum"; elk element dat we kunnen bedenken behoort tot #A#. Deze verzameling is te groot voor het gebruik, dus zien we hem niet zo vaak in de wiskunde en ook niet in deze cursus.
De voorwaarde #P# in de impliciete gedefinieerde verzameling #\blue A = \{a\mid P\}# is een verklaring over #a# die de waarden waar of onwaar kan nemen. Dergelijke verklaringen zijn bekend als proposities in de logica.
Verifiëren of aan #P# wordt voldaan (dat wil zeggen neemt de waarde waar aan) voor een bepaald object #a# zorgt voor een beslissing of #a# wel of geen element is van #\blue A#. Er zijn een aantal eisen aan de voorwaarde #P# om ervoor te zorgen dat we een goede definitie van een verzameling hebben.
We zullen niet ingaan op de details, maar zullen wel een voorbeeld geven van een onmogelijke voorwaarde die voorkomt in de paradox die later beschreven wordt.
We moeten er op letten dat we voorzichtig zijn met welke variabelen (ook wel propositie letters) voorkomen in #P#. Bijvoorbeeld, als we willen dat de definitie #\blue A = \{a\mid P\}# zinvol is, kunnen we niet #\blue A# laten voorkomen in #P#. (Stel dat #\blue A = \{a\mid a\not\in A\}# ). Ook zijn er nauwelijks mogelijkheden voor #\blue A# als #P# niet de variabele #a# bevat. Denk terug aan Twee uitersten.
De variabele #a# wordt beschouwd als een gebonden variabele en heeft de volgende twee belangrijke eigenschappen.
- De naam van de variabele heeft geen andere betekenis dan één voorkomen te relateren aan een andere binnen #\{a\mid P\}#. Dus als #\blue A = \{a\mid 3a\in \mathbb{N}\}#, dan beschouwen we deze beschrijving hetzelfde als #\blue A = \{b\mid 3b\in \mathbb{N}\}#. Natuurlijk moeten we voorkomen een variabele naam te gebruiken die al elders in #P# wordt gebruikt. Bijvoorbeeld, in de beschrijving #\blue A = \left\{a\,\left|\, {a}\in \mathbb{N}\land \frac{a}{m}\in \mathbb{N}\right.\right\}#, waarbij #m# een natuurlijk getal is, kunnen we #a# niet vervangen door #m#. We zouden dan krijgen #\blue A = \left\{m\,\left|\, {m}\in \mathbb{N}\land \frac{m}{m}\in \mathbb{N}\right.\right\} = \{m\}#, waarbij #m# is een natuurlijk getal. Dat is niet hetzelfde.
- De omvang van de naam #a# is slechts de uitdrukking #\{a\mid P\}#. Als #a# buiten deze uitdrukking voorkomt, is het niet dezelfde interne variabele #a#. Dus als #\blue A = \{a\mid 3a\in \mathbb{N}\}#, dan is de uitdrukking #a\not\in \blue A # nog steeds zinvol; het betekent gewoon #3a\not\in \mathbb{N}#.
We geven een klassieke paradox die duidelijk maakt dat er eisen zijn voor #P#. Gebruik de volgende definitie van #P#
\[P= \left(b \text{ is een barbier die alle personen scheert die niet zichzelf scheren}\right)\]
Laat \(B=\left\{b\mid P\right\}\). Als #b\in B#, dan is #b# een barbier die alle personen scheert die niet zichzelf scheren en niemand anders scheert. Dit impliceert dat #b# een barbier is. Maar scheert #b# zichzelf? Als hij dat niet doet, dan #b\in B# impliceert dat #b# zichzelf wel scheert, een contradictie. Dus #b# moet zichzelf scheren. Maar #b\in B# impliceert dat #b# niemand anders scheert dan degenen die zichzelf niet scheren, dus #b# scheert zichzelf niet, opnieuw een contradictie.
Logica kan worden gebruikt om dergelijke conflicten te vermijden. Hier wordt de paradox gebruikt als een waarschuwing dat de proposities die gebruikt worden voor het definiëren van een verzameling redelijk moeten zijn.
De Opsomming werkt niet bij verzamelingen zoals #\mathbb{R}#, die niet telbaar zijn. Een typisch voorbeeld waarin de impliciete definite van een verzameling wel werkt en opsomming niet is een interval van reële getallen.
Bijvoorbeeld, het interval van alle reële getallen #x# waarbij #x# tussen #-\pi# en #\pi# ligt, wordt gegeven door
\[\ivcc{-\pi}{\pi} = \left\{x\mid x\in\mathbb{R}\ \land x\ge -\pi \land x\le \pi\right\}\]
Deze verzameling is niet telbaar.
Bepaal de waarde van het paar gehele getallen #\rv{a,b}# waarvoor de verzameling
\[\left\{ x\,\left|\, x=a\cdot m+b\text{ voor een natuurlijk getal }m\right.\right\} \]
gelijk is aan \[\left \{ 12 , 16 , 20 , \ldots \right \} \]
#\rv{a,b}=# #\rv{4,8}#
De uitdrukking #a\cdot m+b# stijgt voor #m=1,2,\ldots#, zodat het eerste element, # 12 #, in de expliciete beschrijving van de verzameling gelijk moet zijn aan #a\cdot 1+ b# en de tweede aan #a\cdot 2 + b#. Dit geeft het stelsel vergelijkingen
\[\eqs{a + b & = & 12 \\ 2a + b & = & 16 } \]
De enige oplossing voor dit stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden is #\rv{a,b}=\rv{4,8}#. Aangezien #a# en #b# gehele getallen zijn, is het antwoord inderdaad #\rv{a,b}= \rv{4,8}#.
Impliciet gedefinieerde verzameling
