Deelverzamelingen

Verzamelingen: Verzamelingen

Deelverzamelingen

We bespreken het begrip deelverzameling. Dit zijn verzamelingen die deel uitmaken van een andere verzameling.

Deelverzameling

Zij $\blue A$ en $\green B$ verzamelingen.

We zeggen dat een verzameling $\blue A$ een deelverzameling is van $\green B$ als elk element van $\blue A$ ook een element is van $\green B$ .

We geven dit aan met $\blue A\subseteq \green B$ of $\green B \supseteq \blue A$ .

Voorbeelden

Zij $\blue A = \{1, 4, 6\}$ en $\green B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ .

Omdat $1\in\green B$ , $4\in\green B$ en $6\in\green B$ , hebben we $\blue A \subseteq \green B$ .

De verzameling $\orange C$ is geen deelverzameling van $\green B$ als ten minste een element uit $\orange C$ geen element is van $\green B$ .

We geven dit aan met $\orange C \not \subseteq \green B$ .

Daarnaast zij $\orange C = \{2.5, \pi, 5\}$ .

Het element $2.5$ van $C$ behoort niet tot $\green B$ (en hetzelfde geldt voor $\pi$ ). Daarom $\orange C \not \subseteq \green B$ .

Terminologie

Als $\blue A$ een deelverzameling is van de verzameling $\green B$ , dan kunnen we ook zeggen dat $\blue A$ is opgenomen in $\green B$ en dat $\green B$ $\blue A$ omvat. Het symbool $\subseteq$ wordt ook wel integratie genoemd.

Venn diagram

Deelverzamelingen kunnen ook worden weergegeven in een Venn diagram als een ovaal binnen een ovaal.

Zij $\blue A$ en $\green B$ verzamelingen.

Als $\blue A \subseteq \green B$ , dan is deze omvatting zichtbaar gemaakt door het tekenen van de ovaal die overeenkomt met $\blue A$ in de ovaal die overeenkomt met $\green B$ .

Als $\orange C \not\subseteq \green B$ , dan wordt dit gevisualiseerd door ervoor te zorgen dat de ovaal die overeenkomt met $\orange C$ niet in de ovaal ligt die overeenkomt met $\green B$ . De elementen in $\orange C$ die niet in $\green B$ zitten worden getekend als punten binnen de ovaal van $\orange C$ en buiten de ovaal $\green B$ .

Voorbeeld

Zoals eerder, nemen we $\blue A = \{1, 4, 6\}$ , $\green B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ en $\orange C = \{2.5, \pi, 5\}$ . In de Venn-diagram, zien we dat $\blue A \subseteq \green B$ omdat de ovaal van $\blue A$ in de ovaal van $\green B$ ligt. Ook zien we dat $2.5$ en $\pi$ van $\orange C$ niet in $\blue A$ liggen en dus buiten de ovaal van $\blue A$ liggen.

Echte deelverzamelingen

Elke verzameling is een deelverzameling van zichzelf, omdat elk element van een verzameling $\blue A$ natuurlijk een element is van $\blue A$ zelf.

Als een verzameling $\blue A$ een deelverzameling is van een verzameling $\green B$ en niet gelijk is aan $\green B$ , dan noemen we $\blue A$ een echte deelverzameling van $\green B$ . Dit wordt geschreven als $\blue A \subset \green B$ . Het symbool $\subset$ wordt aangeduid als een goede opname of een strikte integratie.

Voorbeeld

Beschouw de verzamelingen $\blue A = \{1, 4, 6\}$ en $\green B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ . We zien dat $\blue A \subset \green B$ .

Gelijkheid

Bedenk dat twee verzamelingen $\blue A$ en $\green B$ gelijk zijn dan en slechts dan als elk element van $\blue A$ een element van $\green B$ is en omgekeerd elk element van $\green B$ een element van $\blue A$ is. Daarom $\blue A=\green B$ dan en slechts dan als $\blue A \subseteq \green B$ en $\green B\subseteq \blue A$ .

Voorbeeld

Zij $\blue A$ de verzameling $\{1, 2, 3\}$ en $\green B$ de verzameling $\{3, 2, 1\}$ . Hier is $\blue A$ gelijk aan $\green B$ , omdat $\blue A \subseteq \green B$ en $\green B \subseteq \blue A$ .

Voorbeelden

Onder de speciale sets met cijfers, hebben we de insluitsels ${\mathbb N}\subseteq {\mathbb Z}$ , ${\mathbb Z}\subseteq {\mathbb Q}$ en ${\mathbb Q}\subseteq {\mathbb R}$ .

Lege verzameling

De lege verzameling is een deelverzameling van elke verzameling.

Voor het bewijs van deze stelling, zij $\blue A$ een willekeurige verzameling. We zullen nu laten zien dat $\emptyset\subseteq A$ . Wij doen dit door te laten zien dat elk element van $\emptyset$ ook een element is van $\blue A$ . In de taal van de logica betekent dit

$a \in \emptyset \Rightarrow a \in \blue A$ en dit is altijd waar. Dit is triviaal omdat $a \in \emptyset$ altijd onwaar is.

Transitiviteit

Een deelverzameling zijn van een verzameling is transitief in de zin dat we voor alle verzamelingen $\blue A$ , $\green B$ en $\orange C$ hebben dat

$(\blue A \subseteq \green B\text{ and }\green B \subseteq \orange C)\ \Rightarrow\ \blue A \subseteq \orange C$

Bijvoorbeeld, als $\blue A = \{1, 2, 3\}$ , $\green B = \{1,2,3, 4\}$ en $\orange C = \{1, 2, 3, 4, 6, 8\}$ ,
dan $\blue A \subseteq \green B$ en $\green B \subseteq \orange C$ , dus $\blue A \subseteq \orange C$ .

Beschouw de sets $A = \{ 2 , 4 , 18 \}$ en $B = \{ 2 , 3 , 4 , 9 , 12 , 18 \}$ , is het waar dat $A \subseteq B$ ?

Het is waar dat $A \subseteq B$ . Omdat elk element van $A$ ook een element is van $B$ , dus $A = \{ 2 , 4 , 18 \}$ is bevat in $B = \{ 2 , 3 , 4 , 9 , 12 , 18 \}$ .

Nieuw voorbeeld