Afgeleide van een machtsfunctie

Differentiëren: Afgeleiden en raaklijnen berekenen

Afgeleide van een machtsfunctie

Op deze pagina berekenen we afgeleiden van machtsfuncties.

Machtsregel voor differentiatie

Laat $\blue{a}$ en $\green{n}$ reële getallen zijn. Als

$f(x)=\blue{a}\cdot x^{\green{n}}$ dan is de afgeleide van $f$ gelijk aan

$f'(x)=\blue{a}\cdot \green{n}\cdot x^{\green{n}-1}$

Voorbeeld

$\text{Voor }f(x)=\blue{5}\cdot x^{\green{3}}$ geldt

$f'(x)=\blue{5}\cdot \green{3}\cdot x^{\green{3}-1}=15\cdot x^2$

Constante
Deze regel impliceert dat de afgeleide van een constante functie is gelijk aan nul.

We laten zien hoe. Laat $f$ een constante functie zijn, dus $f(x)=\blue{a}$ met reëel getal $\blue{a}$ . Deze functie kunnen we ook schrijven als $f(x)=\blue{a}\cdot 1 = \blue{a}\cdot x^{\green{0}}$ . De afgeleide van de constante functie is dus gelijk aan $f'(x)=\blue{a}\cdot \green{0} \cdot x^{\green{0}-1}=0$ .

Wortel

Deze regel kan ook toegepast worden op wortelfuncties. We kunnen een wortelfunctie namelijk altijd schrijven als een machtsfunctie waar exponent $\green{n}$ gelijk is aan een breuk.

Voor bijvoorbeeld $f(x)=4\cdot\sqrt{x}$ . Dit kunnen we schrijven als

$f(x)=\blue{4}\cdot x^{\green{\frac{1}{2}}}$ Er geldt dus

$f'(x)=\blue{4}\cdot \green{\frac{1}{2}}\cdot x^{\left(\green{\frac{1}{2}}-1\right)}=2 \cdot x^{-\frac{1}{2}}=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{x}}$

Negatieve macht
Bij een negatieve macht is deze regel ook toepasbaar.

Voor bijvoorbeeld $f(x)=\displaystyle \frac{3}{x}$ . Dit kunnen we schrijven als

$f(x)=\blue{3}\cdot x^{\green{-1}}$ Er geldt dus

$f'(x)=\blue{3} \cdot (\green{-1}) \cdot x^{\green{-1}-1}=-3\cdot x^{-2}=\displaystyle -\frac{3}{x^2}$

Afgeleide in punt
In de voorbeelden tot nu toe hebben we steeds de afgeleide functie bepaald. Deze wordt ook wel simpelweg afgeleide genoemd. De afgeleide in een punt $x=a$ is niks anders dan $x=a$ gesubstitueerd in de afgeleide functie.

Neem het voorbeeld $f(x)=\blue{5}\cdot x^{\green{3}}$ . We hebben gezien dat de afgeleide functie gelijk is aan $f'(x)=15\cdot x^2$ . De afgeleide van $f(x)$ in $x=2$ is dus $f'(2)=15\cdot 2^2=60$ .

Bewijs 1

Laat $\green{n}$ een natuurlijk getal zijn en $\blue{a}$ een reëel getal. We willen bewijzen dat de uitspraak $\frac{\dd}{\dd x}\left(\blue{a}\cdot x^{\green{n}}\right)=\blue{a}\cdot \green{n}\cdot x^{\green{n}-1}$ geldt voor alle natuurlijke getallen $\green{n} \geq 1$ met behulp van volledige inductie.

Laat $\blue{a}$ een reëel getal zijn en $f_\green{n}(x)=\blue{a} \cdot x^\green{n}$ . Eerst controleren we het inductiebegin:

$\lim_{\orange{h} \to 0} \frac{f_\green{1}(x+\orange{h}) - f_\green{1}(x) } {\orange{h}} = \lim_{\orange{h} \to 0} \frac{\blue{a}(x+\orange{h}) - \blue{a} x } {\orange{h}} = \lim_{\orange{h} \to 0} \frac{\blue{a}\orange{h}}{\orange{h}} = \blue{a}$ De limiet is een reëel getal en is gelijk aan $\blue{a}$ , wat betekent dat $f_\green{1}'(x)=\blue{a} = \blue{a} \cdot \green{1} \cdot x^{\green{1}-1}$ . De uitspraak geldt dus voor $\green{n}=1$ .

Vervolgens stellen we de inductiehypothese op. Neem aan dat $f_\green{n}'(x)=\blue{a}\cdot \green{n}\cdot x^{\green{n}-1}$ . Dit betekent

$\lim_{\orange{h} \to 0} \frac{f_\green{n}(x+\orange{h}) - f_\green{n}(x) } {\orange{h}} =\lim_{\orange{h} \to 0} \frac{\blue{a}(x+\orange{h})^\green{n} - \blue{a} x^\green{n} } {\orange{h}}=\blue{a}\cdot \green{n}\cdot x^{\green{n}-1}$
Nu gaan we de inductiestap doen, waar we willen bewijzen dat $f_\green{n+1}'(x)=\blue{a}\cdot (\green{n+1})\cdot x^{\green{n+1}-1}$ met behulp van de inductiehypothese. We hebben

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \lim_{\orange{h} \to 0} \frac{f_\green{n+1}(x+\orange{h}) - f_\green{n+1}(x) } {\orange{h}} &=& \displaystyle \lim_{\orange{h} \to 0} \frac{\blue{a}(x+\orange{h})^\green{n+1} - \blue{a} x^\green{n+1} }{\orange{h}} \\&&\quad\blue{f_{n+1}\text{ ingevuld}} \\ &=& \displaystyle \lim_{\orange{h} \to 0} \frac{(x+\orange{h}) \cdot \blue{a}(x+\orange{h})^\green{n} - x \cdot \blue{a} x^\green{n} }{\orange{h}} \\&&\quad\blue{\text{anders geschreven}} \\ &=& \displaystyle \lim_{\orange{h} \to 0} \left( \left( x \cdot \frac{ \blue{a}(x+\orange{h})^\green{n} - \blue{a} x^\green{n} }{\orange{h}} \right) + \orange{h} \cdot \left(\frac{\blue{a}(x+\orange{h})^\green{n}}{\orange{h}} \right) \right) \\&&\quad\blue{\text{anders geschreven}} \\ &=& \displaystyle x \cdot \left(\lim_{\orange{h} \to 0} \frac{\blue{a}(x+\orange{h})^\green{n} - \blue{a} x^\green{n} } {\orange{h}} \right) + \lim_{\orange{h} \to 0} \left(\blue{a} (x+\orange{h})^\green{n} \right) \\&&\quad\blue{\text{rekenregels van limieten toegepast en vereenvoudigd}} \\ &=& x \cdot \blue{a}\cdot \green{n}\cdot x^{\green{n}-1} + \blue{a} \cdot x^\green{n} \\&&\quad\blue{\text{inductiehypothese toegepast en limiet uitgewerkt}} \\ &=& \blue{a} \cdot (\green{n+1}) \cdot x^{\green{n+1} -1} \\&&\quad\blue{\text{vereenvoudigd}} \end{array}$ De uitspraak geldt dus ook voor $\green{n+1}$ gegeven de inductiehypothese. Volgens het princiepe van volledige inductie kunnen we dus concluderen dat de uitspraak geldt voor alle $\green{n} \geq 1$ .

Bewijs 2

Dit tweede bewijs geldt ook voor reële getallen $\green{n}$ , maar maakt gebruik van theorie die we nog niet gezien hebben, namelijk het impliciet differentiëren van logaritmische functies.

Laat $\green{n}$ en $\blue{a}$ reële getallen zijn. We willen bewijzen dat $\frac{\dd}{\dd x}\left(\blue{a}\cdot x^{\green{n}}\right)=\blue{a}\cdot \green{n}\cdot x^{\green{n}-1}$ . Laat $y=\blue{a}\cdot x^{\green{n}}$ . Dan geldt

$\begin{array}{rcl}\displaystyle y &=& \blue{a} \cdot x^{\green{n}} \\ &&\quad \blue{\text{gegeven ingevuld}} \\ \ln(y) &=& \ln(\blue{a} \cdot x^{\green{n}}) \\ && \quad \blue{\ln \text{ genomen aan beide kanten}} \\ \ln(y) &=& \ln(\blue{a}) + \green{n} \cdot \ln(x) \\ && \quad \blue{\text{rekenregels logaritmen}} \\ \displaystyle \frac{1}{y} \frac{\dd y} {\dd x} &=& \displaystyle\frac {\green{n}}{x} \\ && \quad \blue{\text{impliciet gedifferentieerd}} \\ \displaystyle\frac{\dd y}{\dd x} &=& \displaystyle y \cdot \frac{\green{n}}{x} \\ && \quad \blue{\text{vermenigvuldigd met } y \text{ aan beide kanten}} \\ \displaystyle \frac{\dd}{\dd x}\left(\blue{a}\cdot x^{\green{n}}\right) &=&\displaystyle \blue{a} \cdot x^{\green{n}} \cdot \frac{\green{n}}{x} \\ &&\quad \blue{y=a\cdot x^n \text{ ingevuld}} \\ &=& \blue{a} \cdot \green{n} \cdot x^{\green{n}-1} \\ &&\quad \blue{\text{vereenvoudigd}} \end{array}$
Hiermee is het bewijs geleverd dat $\frac{\dd}{\dd x}\left(\blue{a}\cdot x^{\green{n}}\right)=\blue{a}\cdot \green{n}\cdot x^{\green{n}-1}$ .

Bereken de afgeleide van de functie $f(x)=$ $6\cdot x^2$ .

$f'(x)=$ $12\cdot x$

Volgens de machtsregel geldt dat de afgeleide van een functie $g(x)=a\cdot x^n$ gelijk is aan $g'(x)=a\cdot n\cdot x^{n-1}$ . De functie $f(x)$ heeft deze vorm met $a = 6$ en $n = 2$ . Dus $f'(x)=6\cdot 2 \cdot x^{2-1}=12\cdot x$ .

Nieuw voorbeeld