Lineaire vergelijkingen

Basisvaardigheden algebra: Lineaire functies

Lineaire vergelijkingen

In een vergelijking worden twee uitdrukkingen bestaande uit termen met constanten en variabelen aan elkaar gelijkgesteld. In deze pagina zullen we kijken naar de lineaire vergelijking. We zullen eerst bekijken wat een lineaire vergelijking is en vervolgens zullen we een systematische oplosmethode van lineaire vergelijkingen bespreken.

Lineaire vergelijking

Een vergelijking met onbekende #x# heet lineair of eerstegraads als de enige termen die erin voorkomen, constanten en constante veelvouden van #x# zijn.

Dit betekent dat de vergelijking er uitziet als \[a+b\cdot x + c\cdot x+d+\cdots = p+q\cdot x + r + s\cdot x+\cdots\tiny,\] waarbij #a#, #b#, #c#, #d#, #p#, #q#, #r#, #s# reële getallen zijn.

Voorbeelden

\[\begin{array}{rcl}x&=&7\\ 2x &=&9\\ 2x+3&=&5\\ 2x+3&=&7x+5\\ 2x+3+x+9 &=& 7x\\ 3x+2&=&0\\ 3&=&0\\ 0&=&0\end{array}\]

Het eerste voorbeeld is niet alleen een vergelijking, maar ook de oplossing van de vergelijking: de enige waarde van #x# die voldoet aan de vergelijking is #7#.

In het algemeen is de vergelijking zo te herschrijven dat het linker lid een lineaire functie is van #x# en het rechter lid gelijk is aan #0#.

De laatste twee voorbeelden zijn uitzonderingen. Ze zijn vergelijkingen zonder termen met #x#. We noemen ze voor het gemak ook lineaire vergelijkingen, hoewel er hier geen lineaire functie van #x# in het spel is.

De vergelijking #3=0# met onbekende #x# heeft geen oplossing: aan de gelijkheid wordt voor geen enkele waarde van #x# voldaan.
Van de vergelijking #0=0# met onbekende #x# is elke waarde van #x# een oplossing. Hieraan wordt namelijk altijd voldaan.

Strikt genomen heeft een lineaire functie in #x# de vorm #a\cdot x+b# met #a\ne0#. Het geval waarin #a=0#, dus de vergelijkingen waarin, na vereenvoudiging, #x# niet meer voorkomt, hebben we in de definitie van lineaire functie niet meegenomen maar in de definitie van lineaire vergelijking wel.

Lineaire vergelijkingen zijn op te lossen met de volgende methode.

Herleiding

Lineaire vergelijkingen met één onbekende zijn altijd op te lossen door herleiding: het stapsgewijs vereenvoudigen van de vergelijking, waarbij op het linker en rechter lid dezelfde operatie losgelaten wordt.

Aan beide zijden dezelfde term aftrekken is zo'n operatie. Zo kan #2x+3=5# herleid worden tot #2x=2# door aan beide zijden #3# af te trekken.
Aan beide zijden door dezelfde constante ongelijk #0# delen is er ook een. Zo kan #2x =9# herleid worden tot de oplossing #x=\dfrac{9}{2}# door beide zijden door #2# te delen.
Gelijksoortige termen kunnen steeds samengebracht worden. Zo kan #2x+3+x+9 =7x# vereenvoudigd worden tot #3x+12 =7x#.

Deze operaties voeren we uit met de bedoeling om, uitgaande van een vergelijking als #2x+3+x+9 = 7x#, uit te komen op een vergelijking van de vorm #x=3#, want dan hebben we bepaald dat in de oplossing #x# de waarde #3# moet hebben.

We lopen de stappen in dit voorbeeld na:

\[\begin{array}{rcl}2x+3+x+9 &=& 7x\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{de vergelijking}}\\ 3x+12 &=& 7x\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{linker lid vereenvoudigd}}\\ -4x+12 &=& 0\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{aan beide zijden }7x\text{ afgetrokken}}\\ -4x&=& -12\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{aan beide zijden }12\text{ afgetrokken}}\\ x &=& 3\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{aan beide zijden door }-4\text{ gedeeld}}\end{array}\]

De oplossing is dus #x=3#.

Met andere woorden: een lineaire vergelijking met onbekende #x# kan opgelost worden door alle termen met #x# naar links te brengen, alle constanten naar rechts te brengen, gelijksoortige termen bij elkaar op te tellen, en beide zijden te delen door de coëfficiënt van #x#.

Als alle termen met #x# bijeengenomen worden en de coëfficiënt van #x# is gelijk aan #0#, dan is #x# uit de vergelijking verdwenen. Wat er dan gebeurt staat later, in de theorie Algemene oplossing, beschreven.

De idee achter herleiding is dat we van te voren weten dat de oplossingen van de oorspronkelijke vergelijking dezelfde zijn als van de nieuwe vergelijking. We zeggen dan dat de oorspronkelijke vergelijking en de herleide vergelijking equivalent zijn:

Equivalentie van vergelijkingen

Twee vergelijkingen heten equivalent als ze precies dezelfde oplossingen hebben.

We zeggen dan ook dat de ene vergelijking equivalent is met de andere.

De stappen in bovenstaande herleiding leveren steeds een vergelijking op die equivalent is met de vorige.

De vergelijking #2x+3+x+9 = 7x# is equivalent met de oplossing #x=3#. Elke stap in bovenstaande herleiding geeft een vergelijking die equivalent is met de oorspronkelijke vergelijking.

Elk van de twee vergelijkingen #x^6=0# en #x^2=0# is equivalent met #x=0#.

De vergelijkingen #y^6=-1# en #\frac{1}{y}=0# in de onbekende #y# zijn equivalent: ze hebben beide geen oplossing.

Hieronder geven enkele voorbeelden aan hoe lineaire vergelijkingen opgelost kunnen worden. In het laatste voorbeeld wordt een eenvoudig stelsel van lineaire vergelijkingen met dezelfde techniek van herleiding opgelost.

Vind de unieke waarde van #x# die voldoet aan #-8\cdot x+7=1#.

Schrijf je antwoord in de vorm #x=\dots# en vereenvoudig zo ver mogelijk.

#x={{3}\over{4}}#

#\begin{array}{rcl}
-8\cdot x+7&=&1\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{de oorspronkelijke vergelijking}}\\
-8\cdot x&=&-6\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{aan beide zijden }7\text{ afgetrokken}}\\
x&=&\dfrac{-6}{-8}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{aan beide zijden door }-8\text{ gedeeld}}\\
x&=&\displaystyle {{3}\over{4}}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{rechter lid vereenvoudigd}}
\end{array}#

Nieuw voorbeeld