Basisvaardigheden algebra: Kwadratische functies
Kwadratische vergelijkingen
Naast lineaire vergelijkingen zijn er ook kwadratische vergelijkingen. We zullen eerst kijken wat een kwadratische vergelijking is en vervolgens zullen we naar een oplosmethode voor speciale gevallen van kwadratische vergelijkingen kijken.
Kwadratische vergelijkingen
Een vergelijking met onbekende #x# heet kwadratisch of tweedegraads als de enige termen die erin voorkomen constanten, constante veelvouden van #x# en constante veelvouden van #x^2# zijn.
De algemene vorm is: \[a \cdot x^2+b \cdot x +c=0\]
Hierbij zijn #a#, #b# en #c# getallen.
Net als bij lineaire vergelijkingen kunnen we kwadratische vergelijkingen herleiden door op het linker en het rechter lid van de vergelijking dezelfde bewerking toe te passen, zoals optellen en aftrekken. Zo kunnen we elke kwadratische vergelijking herleiden tot de standaardvorm, dat wil zeggen: de algemene vorm die in de definitie gegeven is. Uitgaande van deze standaardvorm kunnen we een aantal oplosmethoden gebruiken.
We zullen later de algemene oplossing van een kwadratische vergelijking bespreken. Hier bespreken we het speciale geval waarin we het linker lid van de vergelijking kunnen ontbinden in factoren; dan is de oplossing snel gevonden:
Als het linker lid te ontbinden is in lineaire factoren: \[ a\cdot x^2+b\cdot x+c=(x-p)\cdot(x-q)\tiny,\] waarbij #p# en #q# reële getallen zijn, dan is de oplossing van de vergelijking #x=p\lor x=q#.
Hieronder is gebruik gemaakt van de volgende regel
#A\cdot B=0\phantom{xxx}# is equivalent met #\phantom{xxx}A=0\lor B=0#, waarbij #A = x-p# en #B = x-q#:
\[\begin{array}{rcl}a\cdot x^2+b\cdot x+c&=&0\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{oorspronkelijke vergelijking}}\\ (x-p)\cdot(x-q)&=&0\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{linker lid vervangen door ontbinding}}\\ x-p=0&\lor& x-q=0\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{bovengenoemde regel}}\\ x=p&\lor& x=q \\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{constanten naar rechts}}\\ \end{array}\]
In het eerste voorbeeld wordt uitgelegd hoe je de ontbinding in factoren vindt bij een kwadratische vergelijking in standaardvorm. In de andere twee voorbeelden wordt zichtbaar hoe ontbinding in factoren snel gebruikt kan worden om een kwadratische vergelijking op te lossen.
We zoeken getallen #p# en #q#, zodat de kwadratische veelterm #x^2+3\cdot x-54# te schrijven is als #(x-p)\cdot(x-q)#. Als #p# in absolute waarde groter is dan #q#, dan wisselen we ze om, zodat #|p|\le |q|#. We werken de haakjes weg en vergelijken het resultaat met de oorspronkelijke uitdrukking:
\[ x^2-(p+q)\cdot x+p\cdot q = x^2+3\cdot x-54\tiny\]
Vergelijking met #x^2+3\cdot x-54# geeft \[
\lineqs{p+q &=& -3\cr p\cdot q &=& -54}\]Als #p# en #q# gehele getallen zijn, dan zijn ze dus delers van #-54#. We doorlopen alle mogelijke delers #p# met #p^2\le |-54|# (waaraan voldaan moet zijn vanwege #|p|\le |q|#) en berekenen, in elk van de gevallen, de som van #p# en #q=\frac{-54}{p}#:
\[\begin{array}{|r|c|l|}
\hline
p&q&{p+q}\\
\hline
1&-54&-53\\ \hline -1&54&53\\ \hline 2&-27&-25\\ \hline -2&27&25\\ \hline 3&-18&-15\\ \hline -3&18&15\\ \hline 6&-9&-3\\ \hline -6&9&3 \\
\hline
\end{array}\]
De regel van de tabel met #p=6# en #q=-9# is de enige met som #-3#, dus dit is het antwoord:
\[x^2+3\cdot x-54=(x-6)\cdot(x+9)\tiny.\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
