Om een logaritme uit te rekenen kunnen we de rekenmachine gebruiken. Op de rekenmachine zit gewoonlijk alleen de knop 'log' voor #\log_{10}(x)# en de knop 'ln' voor de natuurlijke logaritme #\log_{\ee}(x)#, waarbij #\ee\approx2.71828# het getal van Euler is. Daarom is het belangrijk de rekenregel te kennen waarmee een logaritme naar een ander grondtal omgeschreven kan worden.
Laat #x#, #a# en #b# positieve getallen zijn met #a\ne1# en #b\ne1#. Dan geldt de volgende gelijkheid.
\[\log_a(x) =\dfrac{\log_b(x)}{\log_b(a)}\]
We kunnen deze regel ook schrijven als:
\[\log_a(x) \cdot \log_b(a)=\log_b(x)\]
Maar de formulering in de stelling laat zien dat we #\log_a(x)# kunnen uitrekenen als we de waarden van twee logaritmen met grondtal #b# kennen.
Om de stelling te bewijzen, gebruiken we de rekenregel #a^{x \cdot y}=\left(a^x\right)^y# voor machten en het feit dat de functie #b^x# injectief is. Dit laatste betekent dat als #b^x=b^y#, dan geldt #x=y#.
Uit \[\begin{array}{rcl}b^{\log_b(a)\log_a(x)}&=&\left(b^{\log_b(a)}\right)^{\log_a(x)}\\&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{rekenregel } a^{x \cdot z}=\left(a^x\right)^z}\\&=&a^{\log_a(x)}\\&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{regel voor logaritmen } g^{\log_g(z)}=z}\\&=&x\\&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{regel voor logaritmen } g^{\log_g(z)}=z}\\&=&b^{\log_b(x)}\\&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{regel voor logaritmen } g^{\log_g(z)}=z}\end{array}\] volgt \[b^{\log_b(a)\cdot \log_a(x)} = b^{\log_b(x)}\]
Omdat de functie #b^x# van #x# injectief is, concluderen we #\log_b(a)\cdot\log_a(x)=\log_b(x)#.
De te bewijzen gelijkheid volgt na deling van linker en rechter lid door #\log_b(a)#.
Met behulp van deze stelling kunnen we nu elke willekeurige logaritme met de rekenmachine uitrekenen door gebruik te maken van de 'log' knop.
Benader #\log_{6}(53)# op drie decimalen nauwkeurig.
#\log_{6}(53)\approx# #2.216#
Immers,
\[\begin{array}{rcl}
\log_{6}(53)&=& \dfrac{\log_{10}(53)}{\log_{10}(6)} \\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{rekenregel } \log_a(b)=\frac{\log_g(b)}{\log_g(a)}}\\
&\approx&\dfrac{1.724}{0.778} \\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{rekenmachine gebruikt voor logaritme met grondtal }10}\\
&\approx& 2.216 \\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{uitgerekend en afgerond op drie decimalen}}\\
\end{array}\]
Hieronder staat nog een aantal andere nuttige rekenregels voor logaritmen.
Laat #x#, #y#, #a#, #b# positieve getallen zijn. Veronderstel verder #a\ne1# en #b\ne1#. Dan gelden de volgende gelijkheden.
- #\log_a(1) = 0#
- #\log_a(x\cdot y) =\log_a(x)+\log_a(y)#
- #\log_a(\dfrac{1}{x}) =-\log_a(x)#
- #\log_a(\dfrac{x}{y}) =\log_a(x)-\log_a(y)#
- #\log_a(x^y) =y\log_a(x)#
- #\log_a(b) =\dfrac{1}{\log_b(a)}#
- #\log_{10}(1) = 0#
- #\log_2(28) = \log_2(4)+\log_2(7) =2+\log_2(7)#
- #\log_3(\dfrac{1}{27}) =-\log_3(27)=-3#
- #\log_4(\dfrac{17}{4}) =\log_4(17)-\log_4(4)=\log_4(17)-1#
- #\log_{10}(2^{19}) =19\log_{10}(2)#
- #\log_{25}(5) =\dfrac{1}{\log_5(25)}=\frac{1}{2}#
We bewijzen de uitspraken één voor één. Opnieuw gebruiken we fundamentele regels voor logaritmen en de injectiviteit van de exponentiële functie.
- #\log_a(1) = 0#. Dit volgt uit de wet #\log_a(a^x) = x# van Het begrip logaritme: #\log_a(1)=\log_a(a^0) = 0#.
- #\log_a(x\cdot y) =\log_a(x)+\log_a(y)#. Uit #a^{\log_a(x\cdot y)} =x\cdot y = a^{\log_a(x)} a^{\log_a(y)} = a^{\log_a(x)+\log_a(y)}# volgt #a^{\log_a(x\cdot y)} =a^{\log_a(x)+\log_a(y)}#. Omdat de functie #a^x# van #x# injectief is, concluderen we #{\log_a(x\cdot y)} ={\log_a(x)+\log_a(y)}#.
- #\log_a(\dfrac{1}{x}) =-\log_a(x)#. Uit #\displaystyle a^{\log_a(\frac{1}{x})} =\frac{1}{x} = \frac{1}{a^{\log_a(x)}} =a^{-\log_a(x)}# volgt #\displaystyle a^{\log_a(\frac{1}{x})} =a^{-\log_a(x)}#. Omdat de functie #a^x# van #x# injectief is, concluderen we #\log_a(\dfrac{1}{x}) =-\log_a(x)#.
- #\log_a(\dfrac{x}{y}) =\log_a(x)-\log_a(y)#. Gebruik makend van regel 2 vinden we #\displaystyle a^{\log_a(\frac{x}{y})} =\frac{x}{y} = \frac{a^{\log_a(x)}}{a^{\log_a(y)}} =a^{\log_a(x)}a^{-\log_a(y)}=a^{\log_a(x)-\log_a(y)}#, dus #\displaystyle a^{\log_a(\frac{x}{y})} =a^{\log_a(x)-\log_a(y)}#. Omdat de functie #a^x# van #x# injectief is, concluderen we #\log_a(\dfrac{x}{y}) =\log_a(x)-\log_a(y)#.
- #\log_a(x^y) =y\log_a(x)#. Uit #\displaystyle a^{\log_a(x^y)} =x^y= \left(a^{\log_a(x)}\right)^y =a^{\log_a(x)y}# volgt #\displaystyle a^{\log_a(x^y)} =a^{y\log_a(x)}#. Omdat de functie #a^x# van #x# injectief is, concluderen we #\log_a(x^y) =y\log_a(x)#.
- #\log_a(b)=\dfrac{1}{\log_b(a)}#. De keuze #x=b# in de regel #\log_a(x) =\dfrac{\log_b(x)}{\log_b(a)}# geeft #\log_a(b)=\dfrac{\log_b(b)}{\log_b(a)}#, en omdat #\log_b(b)=1# volgt #\log_a(b)=\dfrac{1}{\log_b(a)}#.
Dankzij deze regels, kunnen we de aanroep van een rekenmachine voor #\log_{10}(x)# beperken tot #x# met #1\lt x\le 2#:
- We weten dat #x\gt0# moet gelden om de logaritme toe te kunnen passen. Als #0\lt x\lt 1#, dan gebruiken we regel 3 als volgt: #\log_{10}(x)=-{\log_{10}(y)}# met #y=\frac{1}{x}#, zodat #y\gt 1#. Dit laat zien dat we alleen benaderingen van de logaritmen #\log_{10}(x)# met #x\ge 1# hoeven op te zoeken op een rekenmachine.
- Het geval #x=1# is behandeld in de eerste regel: #\log_{10}(1)=0#. We hebben alle gevallen nu teruggebracht tot #x\gt1#.
- Stel tenslotte #x\gt 2#. Dan is #y = \frac{x}{2}# een getal groter dan #1# en kleiner dan #x-1#. Vanwege regel 2 geldt bovendien #\log_{10}(x) = \log_{10}(2\cdot y)= \log_{10}(2)+ \log_{10}(y)#. We kunnen #\log_{10}(x)# dus ook uitdrukken in logaritmen met kleinere argumenten die nog steeds groter dan #1# zijn. Sneller nog: als het grootste natuurlijke getal #m# kiezen, zodat #2^m\lt x#, dan vinden we net als hierboven #\log_{10}(x) = m\cdot \log_{10}(2)+\log_{10}\left(z\right)#, waarbij #z=\frac{x}{2^m }# voldoet aan #1\lt z\le 2#.
In de voorbeelden hieronder wordt een aantal van deze rekenregels gebruikt.
Vereenvoudig zo veel mogelijk.
#\log_2(16)+\log_2(4)=# #6#
Gebruik makend van rekenregels #\log_a(x\cdot y) =\log_a(x)+\log_a(y)# en #\log_a(a^x)=x#, vinden we
\[ \log_2(16)+\log_2(4)=\log_2\left(16 \cdot {4}\right)=\log_2\left(2^{4}\cdot 2^{2}\right)=\log_2\left(2^6\right)=6\]
Rekenregels voor logaritmen
