Rekenregels voor logaritmen

Exponentiële en logaritmische groei: Logaritmische groei

Rekenregels voor logaritmen

Om een logaritme uit te rekenen kunnen we de rekenmachine gebruiken. Op de rekenmachine zit gewoonlijk alleen de knop 'log' voor $\log_{10}(x)$ en de knop 'ln' voor de natuurlijke logaritme $\log_{\ee}(x)$ , waarbij $\ee\approx2.71828$ het getal van Euler is. Daarom is het belangrijk de rekenregel te kennen waarmee een logaritme naar een ander grondtal omgeschreven kan worden.

Grondtalregel voor logaritmen

Laat $x$ , $a$ en $b$ positieve getallen zijn met $a\ne1$ en $b\ne1$ . Dan geldt de volgende gelijkheid.

$\log_a(x) =\dfrac{\log_b(x)}{\log_b(a)}$

We kunnen deze regel ook schrijven als:

$\log_a(x) \cdot \log_b(a)=\log_b(x)$

Maar de formulering in de stelling laat zien dat we $\log_a(x)$ kunnen uitrekenen als we de waarden van twee logaritmen met grondtal $b$ kennen.

Om de stelling te bewijzen, gebruiken we de rekenregel $a^{x \cdot y}=\left(a^x\right)^y$ voor machten en het feit dat de functie $b^x$ injectief is. Dit laatste betekent dat als $b^x=b^y$ , dan geldt $x=y$ .

Uit $\begin{array}{rcl}b^{\log_b(a)\log_a(x)}&=&\left(b^{\log_b(a)}\right)^{\log_a(x)}\\&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{rekenregel } a^{x \cdot z}=\left(a^x\right)^z}\\&=&a^{\log_a(x)}\\&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{regel voor logaritmen } g^{\log_g(z)}=z}\\&=&x\\&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{regel voor logaritmen } g^{\log_g(z)}=z}\\&=&b^{\log_b(x)}\\&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{regel voor logaritmen } g^{\log_g(z)}=z}\end{array}$ volgt $b^{\log_b(a)\cdot \log_a(x)} = b^{\log_b(x)}$

Omdat de functie $b^x$ van $x$ injectief is, concluderen we $\log_b(a)\cdot\log_a(x)=\log_b(x)$ .

De te bewijzen gelijkheid volgt na deling van linker en rechter lid door $\log_b(a)$ .

Met behulp van deze stelling kunnen we nu elke willekeurige logaritme met de rekenmachine uitrekenen door gebruik te maken van de 'log' knop.

Benader $\log_{11}(32)$ op drie decimalen nauwkeurig.

$\log_{11}(32)\approx$ $1.445$

Immers,
$\begin{array}{rcl} \log_{11}(32)&=& \dfrac{\log_{10}(32)}{\log_{10}(11)} \\ && \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{rekenregel } \log_a(b)=\frac{\log_g(b)}{\log_g(a)}}\\ &\approx&\dfrac{1.505}{1.041} \\ && \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{rekenmachine gebruikt voor logaritme met grondtal }10}\\ &\approx& 1.445 \\ && \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{uitgerekend en afgerond op drie decimalen}}\\ \end{array}$

Nieuw voorbeeld

Hieronder staat nog een aantal andere nuttige rekenregels voor logaritmen.

Rekenregels voor logaritmen

Laat $x$ , $y$ , $a$ , $b$ positieve getallen zijn. Veronderstel verder $a\ne1$ en $b\ne1$ . Dan gelden de volgende gelijkheden.

$\log_a(1) = 0$
$\log_a(x\cdot y) =\log_a(x)+\log_a(y)$
$\log_a(\dfrac{1}{x}) =-\log_a(x)$
$\log_a(\dfrac{x}{y}) =\log_a(x)-\log_a(y)$
$\log_a(x^y) =y\log_a(x)$
$\log_a(b) =\dfrac{1}{\log_b(a)}$

$\log_{10}(1) = 0$
$\log_2(28) = \log_2(4)+\log_2(7) =2+\log_2(7)$
$\log_3(\dfrac{1}{27}) =-\log_3(27)=-3$
$\log_4(\dfrac{17}{4}) =\log_4(17)-\log_4(4)=\log_4(17)-1$
$\log_{10}(2^{19}) =19\log_{10}(2)$
$\log_{25}(5) =\dfrac{1}{\log_5(25)}=\frac{1}{2}$

We bewijzen de uitspraken één voor één. Opnieuw gebruiken we fundamentele regels voor logaritmen en de injectiviteit van de exponentiële functie.

$\log_a(1) = 0$ . Dit volgt uit de wet $\log_a(a^x) = x$ van Het begrip logaritme: $\log_a(1)=\log_a(a^0) = 0$ .
$\log_a(x\cdot y) =\log_a(x)+\log_a(y)$ . Uit $a^{\log_a(x\cdot y)} =x\cdot y = a^{\log_a(x)} a^{\log_a(y)} = a^{\log_a(x)+\log_a(y)}$ volgt $a^{\log_a(x\cdot y)} =a^{\log_a(x)+\log_a(y)}$ . Omdat de functie $a^x$ van $x$ injectief is, concluderen we ${\log_a(x\cdot y)} ={\log_a(x)+\log_a(y)}$ .
$\log_a(\dfrac{1}{x}) =-\log_a(x)$ . Uit $\displaystyle a^{\log_a(\frac{1}{x})} =\frac{1}{x} = \frac{1}{a^{\log_a(x)}} =a^{-\log_a(x)}$ volgt $\displaystyle a^{\log_a(\frac{1}{x})} =a^{-\log_a(x)}$ . Omdat de functie $a^x$ van $x$ injectief is, concluderen we $\log_a(\dfrac{1}{x}) =-\log_a(x)$ .
$\log_a(\dfrac{x}{y}) =\log_a(x)-\log_a(y)$ . Gebruik makend van regel 2 vinden we $\displaystyle a^{\log_a(\frac{x}{y})} =\frac{x}{y} = \frac{a^{\log_a(x)}}{a^{\log_a(y)}} =a^{\log_a(x)}a^{-\log_a(y)}=a^{\log_a(x)-\log_a(y)}$ , dus $\displaystyle a^{\log_a(\frac{x}{y})} =a^{\log_a(x)-\log_a(y)}$ . Omdat de functie $a^x$ van $x$ injectief is, concluderen we $\log_a(\dfrac{x}{y}) =\log_a(x)-\log_a(y)$ .
$\log_a(x^y) =y\log_a(x)$ . Uit $\displaystyle a^{\log_a(x^y)} =x^y= \left(a^{\log_a(x)}\right)^y =a^{\log_a(x)y}$ volgt $\displaystyle a^{\log_a(x^y)} =a^{y\log_a(x)}$ . Omdat de functie $a^x$ van $x$ injectief is, concluderen we $\log_a(x^y) =y\log_a(x)$ .
$\log_a(b)=\dfrac{1}{\log_b(a)}$ . De keuze $x=b$ in de regel $\log_a(x) =\dfrac{\log_b(x)}{\log_b(a)}$ geeft $\log_a(b)=\dfrac{\log_b(b)}{\log_b(a)}$ , en omdat $\log_b(b)=1$ volgt $\log_a(b)=\dfrac{1}{\log_b(a)}$ .

Dankzij deze regels, kunnen we de aanroep van een rekenmachine voor $\log_{10}(x)$ beperken tot $x$ met $1\lt x\le 2$ :

We weten dat $x\gt0$ moet gelden om de logaritme toe te kunnen passen. Als $0\lt x\lt 1$ , dan gebruiken we regel 3 als volgt: $\log_{10}(x)=-{\log_{10}(y)}$ met $y=\frac{1}{x}$ , zodat $y\gt 1$ . Dit laat zien dat we alleen benaderingen van de logaritmen $\log_{10}(x)$ met $x\ge 1$ hoeven op te zoeken op een rekenmachine.
Het geval $x=1$ is behandeld in de eerste regel: $\log_{10}(1)=0$ . We hebben alle gevallen nu teruggebracht tot $x\gt1$ .
Stel tenslotte $x\gt 2$ . Dan is $y = \frac{x}{2}$ een getal groter dan $1$ en kleiner dan $x-1$ . Vanwege regel 2 geldt bovendien $\log_{10}(x) = \log_{10}(2\cdot y)= \log_{10}(2)+ \log_{10}(y)$ . We kunnen $\log_{10}(x)$ dus ook uitdrukken in logaritmen met kleinere argumenten die nog steeds groter dan $1$ zijn. Sneller nog: als het grootste natuurlijke getal $m$ kiezen, zodat $2^m\lt x$ , dan vinden we net als hierboven $\log_{10}(x) = m\cdot \log_{10}(2)+\log_{10}\left(z\right)$ , waarbij $z=\frac{x}{2^m }$ voldoet aan $1\lt z\le 2$ .

In de voorbeelden hieronder wordt een aantal van deze rekenregels gebruikt.

Vereenvoudig zo veel mogelijk.

$\log_3(729)+\log_3(9)=$ $8$

Gebruik makend van rekenregels $\log_a(x\cdot y) =\log_a(x)+\log_a(y)$ en $\log_a(a^x)=x$ , vinden we
$\log_3(729)+\log_3(9)=\log_3\left(729 \cdot {9}\right)=\log_3\left(3^{6}\cdot 3^{2}\right)=\log_3\left(3^8\right)=8$

Nieuw voorbeeld