Eindwaarde zonder bijstorting

Exponentiële en logaritmische groei: Eindwaarde

Eindwaarde zonder bijstorting

We gaan uit van een startkapitaal #S_0# (ook wel aanvangswaarde genoemd) dat op een bank staat gedurende een aantal perioden #n# (bijvoorbeeld jaren) op basis van een samengestelde interest tegen een bepaald percentage per periode. We zijn geïnteresseerd in de eindwaarde (ook wel slotwaarde genoemd) na de gehele looptijd #n# indien er geen geld tussentijds bijgelegd wordt. Het rentepercentage bepaalt de groeivoet. We beschrijven het resultaat in termen van de groeivoet.

Formule voor eindwaarde zonder bijstorting

De eindwaarde #S(n)# van een startkapitaal #S_0# na #n# perioden met groeivoet #i# is gelijk aan

\[ S(n)=S_0\cdot\left(1+i\right)^n\]

Aangezien het kapitaal elke periode met dezelfde groeifactor vermenigvuldigd wordt, is er sprake van exponentiële groei. De formule voor #S(n)# is dus het groeimodel met groeifactor #1+i# en beginwaarde #S_0#.

Bij percentage #p\%# is de groeivoet #i=\frac{p}{100}#. De groeifactor (de factor waarmee het kapitaal dat aan het begin van de periode aanwezig is, vermenigvuldigd moet worden om het kapitaal aan het eind van die periode te berekenen) is #1+i=1+\frac{p}{100}#.

De groeivoet wordt ook wel groeiperunage of interestvoet genoemd.

De factor #\left(1+i\right)^n# wordt in de financiële rekenkunde wel met #S_{\left .n\right \rceil i}# aangegeven.

Aangezien de groeivoet gelijk is aan #i#, is de groeifactor gelijk aan #1+i# (zie Exponentieel groeimodel). Door de startwaarde met #1+i# te vermenigvuldigen ontstaat #S(1)# (de waarde na 1 jaar).

De waarde na 2 jaar ontstaat door #S(1)# met #1+i# te vermenigvuldigen. Dan krijgen we: \[S(2)=S(1) \cdot (1+i) = S_0 \cdot (1+i) \cdot (1+i) = S_0 \cdot (1+i)^2\]

Hiervan gebruikmakend kunnen we inzien: \[S(3)=S(2) \cdot (1+i) = S_0 \cdot (1+i)^2 \cdot (1+i) =S_0 \cdot (1+i)^3\]

Meer algemeen, als we weten dat de formule geldt voor #n-1# in plaats van voor #n# (dat wil zeggen: als we ingezien hebben dat #S(n-1) = S_0\cdot (1+i)^{n-1}#), dan kunnen we de formule zelf afleiden:

\[S(n) = S(n-1)\cdot (1+i)=S_0\cdot (1+i)^{n-1}\cdot(1+i) = S_0 \cdot (1+i)^n\]

Zo vinden we \[S(n)=S_0 \cdot (1+i)^n\]

(Deze manier van redeneren staat bekend als volledige inductie.)

Notatie

De eindwaarde wordt ook wel afgekort als #EW#.

In het voorbeeld hieronder is te zien wat dit in de praktijk betekent.

Een kapitaal van #\euro \, 15000# staat gedurende #13# jaar uit tegen #0.9\%# rente per jaar op basis van samengestelde rente.

Bereken de eindwaarde, afgerond tot op 2 decimalen.

eindwaarde: #\euro# #16852.97#

De groeivoet is hier #i = \frac{0.9}{100}=0.009#. De looptijd is #n=13#. Volgens de formule is de eindwaarde dan
\[ S_0\cdot\left(1+i\right)^n = 15000 \cdot(1.009)^{13} =15000 \cdot{1.12353}\cdots\approx 16852.97 \]

Nieuw voorbeeld