Eindwaarde zonder bijstorting

Exponentiële en logaritmische groei: Eindwaarde

Eindwaarde zonder bijstorting

We gaan uit van een startkapitaal $S_0$ (ook wel aanvangswaarde genoemd) dat op een bank staat gedurende een aantal perioden $n$ (bijvoorbeeld jaren) op basis van een samengestelde interest tegen een bepaald percentage per periode. We zijn geïnteresseerd in de eindwaarde (ook wel slotwaarde genoemd) na de gehele looptijd $n$ indien er geen geld tussentijds bijgelegd wordt. Het rentepercentage bepaalt de groeivoet. We beschrijven het resultaat in termen van de groeivoet.

Formule voor eindwaarde zonder bijstorting

De eindwaarde $S(n)$ van een startkapitaal $S_0$ na $n$ perioden met groeivoet $i$ is gelijk aan

$S(n)=S_0\cdot\left(1+i\right)^n$

Aangezien het kapitaal elke periode met dezelfde groeifactor vermenigvuldigd wordt, is er sprake van exponentiële groei. De formule voor $S(n)$ is dus het groeimodel met groeifactor $1+i$ en beginwaarde $S_0$ .

Bij percentage $p\%$ is de groeivoet $i=\frac{p}{100}$ . De groeifactor (de factor waarmee het kapitaal dat aan het begin van de periode aanwezig is, vermenigvuldigd moet worden om het kapitaal aan het eind van die periode te berekenen) is $1+i=1+\frac{p}{100}$ .

De groeivoet wordt ook wel groeiperunage of interestvoet genoemd.

De factor $\left(1+i\right)^n$ wordt in de financiële rekenkunde wel met $S_{\left .n\right \rceil i}$ aangegeven.

Aangezien de groeivoet gelijk is aan $i$ , is de groeifactor gelijk aan $1+i$ (zie Exponentieel groeimodel). Door de startwaarde met $1+i$ te vermenigvuldigen ontstaat $S(1)$ (de waarde na 1 jaar).

De waarde na 2 jaar ontstaat door $S(1)$ met $1+i$ te vermenigvuldigen. Dan krijgen we: $S(2)=S(1) \cdot (1+i) = S_0 \cdot (1+i) \cdot (1+i) = S_0 \cdot (1+i)^2$

Hiervan gebruikmakend kunnen we inzien: $S(3)=S(2) \cdot (1+i) = S_0 \cdot (1+i)^2 \cdot (1+i) =S_0 \cdot (1+i)^3$

Meer algemeen, als we weten dat de formule geldt voor $n-1$ in plaats van voor $n$ (dat wil zeggen: als we ingezien hebben dat $S(n-1) = S_0\cdot (1+i)^{n-1}$ ), dan kunnen we de formule zelf afleiden:

$S(n) = S(n-1)\cdot (1+i)=S_0\cdot (1+i)^{n-1}\cdot(1+i) = S_0 \cdot (1+i)^n$

Zo vinden we $S(n)=S_0 \cdot (1+i)^n$

(Deze manier van redeneren staat bekend als volledige inductie.)

Notatie

De eindwaarde wordt ook wel afgekort als $EW$ .

In het voorbeeld hieronder is te zien wat dit in de praktijk betekent.

Een kapitaal van $\euro \, 10000$ staat gedurende $5$ jaar uit tegen $1.3\%$ rente per jaar op basis van samengestelde rente.

Bereken de eindwaarde, afgerond tot op 2 decimalen.

eindwaarde: $\euro$ $10667.12$

De groeivoet is hier $i = \frac{1.3}{100}=0.013$ . De looptijd is $n=5$ . Volgens de formule is de eindwaarde dan
$S_0\cdot\left(1+i\right)^n = 10000 \cdot(1.013)^{5} =10000 \cdot{1.06671}\cdots\approx 10667.12$

Nieuw voorbeeld