Interest en looptijd berekenen

Exponentiële en logaritmische groei: Eindwaarde

Interest en looptijd berekenen

Eerder hebben we gezien hoe je de eindwaarde en contante waarde berekent. Met dezelfde formule, \(S_n = S_0 \cdot (1+i)^n\), kunnen we ook de interest en de looptijd berekenen.

Interest bij inleg zonder bijstorting

In de situatie dat een bedrag op een bankrekening staat op basis van samengestelde interest en de startwaarde #S_0#, eindwaarde #S_n# en looptijd #n# bekend zijn, is interestpercentage berekenen aan de hand van de formule

\[i = \left(\dfrac{S_n}{S_0}\right)^{\frac{1}{n}}-1\]

Door aan beide kanten gelijke algebraïsche bewerkingen toe te passen, kunnen we de formule #S_n = S_0 \cdot (1+i)^n# zodanig herschrijven dat #i# alleen aan de linkerkant van het gelijkheidsteken voorkomt.

\[\begin{array}{rcl}

S_0 \cdot (1+i)^n &=&S_n\\

&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{de bekende formule met linker- en rechterlid verwisseld}}\\

(1+i)^n &=& \dfrac{S_n}{S_0} \\

&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{beide kanten gedeeld door } S_0}\\

1+i &=& \left(\dfrac{S_n}{S_0}\right)^{\frac{1}{n}} \\

&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{beide kanten verheven tot de macht } \frac{1}{n}}\\

i &=& \left(\dfrac{S_n}{S_0}\right)^{\frac{1}{n}}-1 \\

&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{aan beide kanten} 1\text{ afgetrokken}}

\end{array}\]

Dus nu kunnen we bekende waarden voor #S_n#, #S_0# en #n# invullen om #i# te bepalen.

Indien we de groeivoet #i# gevonden hebben, kunnen we deze met #100# vermenigvuldigen om het interestpercentage te berekenen.

Na invullen van de waarden van #S_n#, #S_0# en #n#, vinden we #i#.

Op dezelfde manier kunnen we ook de onbekende looptijd berekenen.

Looptijd bij inleg zonder bijstorting

Als een bedrag op een bankrekening staat op basis van samengestelde interest en de startwaarde #S_0#, eindwaarde #S_n# en groeivoet #i# bekend zijn, kunnen we de looptijd #n# berekenen met behulp van de formule

\[n = \log_{1+i}\left({S_n}\right)- \log_{1+i}\left({S_0}\right)\]

Door aan beide kanten gelijke algebraïsche bewerkingen toe te passen, kunnen we de formule #S_n = S_0 \cdot (1+i)^n# zodanig herschrijven dat #n# alleen aan de linkerkant van het gelijkheidsteken komt te staan.

\[\begin{array}{rcl}
S_n &=& S_0 \cdot (1+i)^n \\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{de al bekende formule}}\\
(1+i)^n &=& \dfrac{S_n}{S_0} \\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{beide kanten gedeeld door } S_0}\\
\log_{1+i}((1+i)^n) &=& \log_{1+i}\left(\frac{S_n}{S_0}\right) \\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{beide kanten } \log_{1+i} \text{genomen}}\\
n &=& \log_{1+i}\left(\dfrac{S_n}{S_0}\right) \\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{rekenregel } \log_g(g^n)=n}\\
n &=& \log_{1+i}\left({S_n}\right)- \log_{1+i}\left({S_0}\right) \\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{rekenregel } \log_g(\frac{x}{y})=\log_g(x)-\log_g(y)}
\end{array}\]

Dus nu kunnen we bekende waarden voor #S_n#, #S_0# en #i# invullen om #n# te berekenen.

Na invullen van de waarden van #S_n#, #S_0# en #i#, vinden we #n#.

In feite hoef je alleen de formule #S_n=S_0 \cdot (1+i)^n# te onthouden. Daarmee kun je de onbekende op algebraïsche wijze afleiden.

In de voorbeelden hieronder zie je hoe dat in de praktijk gaat.

Een kapitaal van #\euro \, 15000# is tot stand gekomen door een storting bij de bank #21# jaar daarvoor van #\euro \, 6072.69# tegen een vaste jaarlijkse interest.

Hoeveel bedroeg die jaarlijkse interest? Geef je antwoord in #1# decimaal nauwkeurig.

Jaarlijkse interestpercentage: #4.4##\%#

We passen de volgende formule toe.
\[S_n=S_0\cdot (1+i)^n\]
Hier is #S_n=15000#, #S_0=6072.69# en #n=21#, zodat de groeivoet #i# voldoet aan
\[15000=6072.69\cdot(1+i)^{21}\]
We lossen deze vergelijking in #i# als volgt op:
\[\begin{array}{rcl}
15000&=&6072.69\cdot(1+i)^{21}\\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{de op te lossen vergelijking}}\\
(1+i)^{21} &=& \dfrac{15000}{6072.69} \\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{beide kanten gedeeld door } 6072.69}\\
1+i&=&\left(\dfrac{15000}{6072.69}\right)^{\frac{1}{21}}\\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{beide kanten tot de macht } \frac{1}{21}}\\
1+i &\approx& 1.044\\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{uitgerekend }}\\
i&=&0.044\\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{1\text{ afgetrokken van beide kanten}}\\
\end{array}\]

Dus het jaarlijkse interestpercentage is #0.044 \cdot 100 = 4.4 \%#.

Nieuw voorbeeld