Om deze formule af te leiden, bewijzen we eerst de tweede formule

\[s_n =\sum_{k=1}^{n} t_k=\dfrac{n}{2} \cdot (t_1+t_n)\]

Hierbij maken we gebruik van een belangrijke eigenschap van rekenkundige rijen, namelijk dat de som van de eerste en de laatste term is gelijk aan de som van de tweede en de voorlaatste term en ook gelijk aan de som van de derde en de op twee na laatste term, enzovoort. Kijk maar:

\[t_1+t_n=t_1+t_1+(n-1) \cdot v=t_1+v+t_1+(n-2) \cdot v=t_2+t_{n-1}\]

\[\begin{array}{rclclcl}t_2+t_{n-1}&=&t_1+v+t_n- v&=&&&t_1+t_{n}\\ t_3+t_{n-2}&=&t_2+v+t_{n-1}- v&=&t_2+t_{n-1}&=&t_1+t_n\\ t_4+t_{n-3}&=&t_3+v+t_{n-2}- v&=&t_3+t_{n-2}&=&t_1+t_n\\ \vdots &=&\vdots&=&\vdots &=&t_1+t_n \end{array}\]

Dit betekent dat als we #s_n# als volgt kunnen berekenen:

\[\begin{array}{rcl}
t_1+t_2+t_3+\cdots +t_{n-1}+t_n&=&(t_1+t_n)+(t_2+t_{n-1})+(t_3+t_{n-2})+\cdots \\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{termen gesorteerd op gelijke paren}}\\
&=& (t_1+t_n)+(t_1+t_n)+(t_1+t_n)+\cdots \end{array}\]

We gaan na hoe het einde van deze herschikking eruit ziet. Als #n# even is, dan is de laatste term

\[ t_{\frac{n}{2}}+t_{\frac{n}{2}+1} = \left(t_{1}+t_{n}\right)\]

Er staan dus #\frac{n}{2}# termen #\left(t_{1}+t_{n}\right)#, zodat de som gelijk is aan \(s_n = \frac{n}{2}\cdot\left(t_{1}+t_{n}\right)\) zoals beweerd.

Als #n# oneven is, dan zou de laatste term \(\left(t_{\frac{n+1}{2}}+t_{\frac{n+1}{2}}\right)\) zijn, ware het niet dat we dan #t_{\frac{n+1}{2}}# dubbel tellen. De som #s_n# heeft dus #\frac{n-1}{2}# termen #\left(t_{1}+t_{n}\right)# en één term \(\frac{1}{2}\left(t_{1}+t_{n}\right)\), zodat

\[s_n = \left(\frac{n-1}{2}+\frac{1}{2}\right)\cdot \left(t_{1}+t_{n}\right)=\frac{n}{2}\cdot\left(t_{1}+t_{n}\right) \] zoals beweerd. Het blijkt dus dat de tweede formule geldt voor alle natuurlijke getallen #n#.

Om de eerste formule van de stelling hieruit af te leiden, vervangen we #t_n# met de directe formule door #t_1+(n-1)\cdot v# in de tweede formule:

\[\begin{array}{rcl} s_n &=&\dfrac{n}{2} \cdot (t_1+t_n)\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{bovenstaande formule}}\\ &=&\dfrac{n}{2} \cdot (t_1+t_1+(n-1)\cdot v)\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{t_n=t_1+(n-1)\cdot v\text{ ingevuld}}\\ &=& n\cdot t_1+\dfrac{n}{2}(n-1)\cdot v\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{haakjes weggewerkt en vereenvoudigd}} \end{array}\]