De som van #n# termen van een meetkundige rij kan worden geschreven als:
\[s_n=t_1+t_2+t_3+\cdots+t_{n-1}+t_n=\sum_{k=1}^{n} t_k\]
Als we de som voor grote waarden van #n# willen berekenen, dan is het veel werk om alle termen stuk voor stuk uit te rekenen en vervolgens op te tellen. Het is veel sneller om de algemene formule voor de som van de termen van een meetkundige rij te gebruiken.
De som van de eerste #n# termen van een meetkundige rij #t_k# is gelijk aan \[s_n =\sum_{k=1}^{n} t_k=t_1 \cdot \frac{r^n-1}{r-1}\]
We kunnen deze stelling bewijzen door gebruik te maken van het feit dat als we een meetkundige rij vermenigvuldigen met de reden er een nieuwe meetkundige rij ontstaat, die op twee termen na gelijk is aan de eerste rij.
Een meetkundige rij is van de vorm: #t_1#, #t_1 \cdot r#, #t_1 \cdot r^2#, #\ldots#.
Stel dat we de eerste #n# termen van zo'n meetkundige rij willen optellen, dan krijgen we de volgende som:
\[s_n=t_1 + t_1 \cdot r + t_1\cdot r^2 + t_1 \cdot r^3 + \ldots + t_1 \cdot r^{n-2} + t_1 \cdot r^{n-1}\]
Nu vermenigvuldigen we deze rij met #r#. Dat krijgen we:
\[r \cdot s_n= t_1 \cdot r + t_1 \cdot r^2 + t_1 \cdot r^3 + \ldots + t_1 \cdot r^{n-1} + t_1 \cdot r^{n}\]
Nu trekken we #s_n# af van #r \cdot s_n#. Dat geeft:
\[\begin{array}{rcl}r \cdot s_n -s_n &=& (t_1 \cdot r + t_1\cdot r^2 + t_1 \cdot r^3 + \ldots + t_1 \cdot r^{n-2} t_1 \cdot r^{n-1} + t_1 \cdot r^{n}) \\ && - (t_1 + t_1 \cdot r + t_1\cdot r^2 + t_1 \cdot r^3 + \ldots + t_1 \cdot r^{n-2} + t_1 \cdot r^{n-1})\end{array}\]
Als we de termen herordenen, krijgen we:
\[\begin{array}{rcl}(r-1) \cdot s_n &=& -t_1 + t_1 \cdot r - t_1 \cdot r+t_1 \cdot r^2 -t_1 \cdot r^2 + \ldots \\&& + t_1 \cdot r^{n-2} - t_1 \cdot r^{n-2} + t_1 \cdot r^{n-1} - t_1 \cdot r^{n-1} + t_1 \cdot r^n\end{array}\]
Nu zien we dat de meeste termen tegen elkaar wegvallen en dat we overhouden:
\[(r-1) \cdot s_n = -t_1 + t_1 \cdot r^n\]
Als we nu #(r-1)# naar de andere kant halen, staat er:
\[s_n = \frac{t_1 \cdot r^n-t_1}{(r-1)}=t_1 \cdot \frac{r^n-1}{r-1}\]
Als #r# kleiner dan #1# is, kan het handig zijn om in de breuk teller en noemer te vermenigvuldigen met #-1#.
De formule luidt dan: \[s_n =\sum_{k=1}^{n} t_k=t_1 \cdot \frac{1-r^n}{1-r}\]
Het voordeel hiervan is dat de noemer van de breuk positief is.
Als #r=1#, dan is de breuk in de formule niet gedefinieerd, want de noemer is dan gelijk aan #0#. De rij is dan constant, zodat de som van de eerste #n# termen gelijk is aan #n\cdot t_1#.
Met deze formule kunnen we eenvoudig de som berekenen van #n# termen van de meetkundige rij als we het aantal termen weten, de eerste term en de reden.
Van een meetkundige rij #t# is de aanvangsterm #t_1=4# en de reden #r=3#.
Bereken #\sum_{k=1}^{10} t_k#.
#\sum_{k=1}^{10} t_k=# #118096#
De formule voor de som van de eerste #n# termen van een meetkundige rij is gelijk aan: \[\sum_{k=1}^n t_k=t_1 \cdot \frac{r^n-1}{r-1}\]
In dit geval geldt
Dat geeft dus:
\[\sum_{k=1}^{10} t_k=4 \cdot \frac{3^{10}-1}{3-1}=118096\]