We gaan uit van het gegeven dat elke termijn een vast bedrag betaald wordt. Dit bedrag is #a_j+r_j# voor periode #j#. We laten eerst zien dat de aflossingen #a_j# van een annuïteitenlening in de periodes #j=1,2,\ldots# een meetkundige reeks vormen met reden #(1+i)#:

\[\begin{array}{lclcc}
&&Ann = r_j + a_j = r_{j+1} + a_{j+1} &(1)&\\
&&\phantom{xxxxxxx}\color{blue}{\text{kenmerkende formule annuïteit}}\\
&&r_j = i \cdot R_{j-1} &(2)&\\
&&\phantom{xxxxxxx}\color{blue}{\text{formule rentebetaling periode } j}\\
&&r_{j+1} = i \cdot R_j = i \cdot (R_{j-1} - a_j) = i\cdot R_{j-1} - i\cdot a_j &(3)&\\
&&\phantom{xxxxxxx}\color{blue}{\text{formule rentebetaling periode }j + 1}&&\\
&&i\cdot R_{j-1} + a_j = i\cdot R_{j-1} - i\cdot a_j + a_{j+1}&&\\
&&\phantom{xxxxxxx}\color{blue}{\text{(2) en (3) ingevuld in tweede gelijkheid van (1)}}&&\\
&&a_{j+1}=a_j+i\cdot a_j\\
&&\phantom{xxxxxxx}\color{blue}{\text{de vorige vergelijking vereenvoudigd}}&&\\
&& a_{j+1}=a_j\cdot (1+i)&& \\
&&\phantom{xxxxxxx}\color{blue}{a_j\,\,\text{buiten haakjes gehaald}}&&\\
\end{array}\]

Dit laat zien dat inderdaad #a_j=a_1\cdot (1+i)^{j-1}#. Om #a_1# te bepalen, gebruiken we het feit dat de som van alle aflossingen gelijk is aan het beginkapitaal #K#:

\[\begin{array}{rcl}K&=&\sum_{j=1}^na_j \\ &=&a_1\cdot\sum_{j=1}^n{(1+i)^{j-1}} \\ &&\phantom{xx}\color{blue}{a_j = a_1\cdot (1+i)^{j-1}}\\ &=&a_1\cdot\dfrac{(1+i)^{n}-1}{1+i-1} \\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{meetkundige reeks}}\\ &=&a_1\cdot\dfrac{(1+i)^{n}-1}{i}\end{array}\]

We vinden dus de lineaire vergelijking #a_1\cdot\dfrac{(1+i)^{n}-1}{i}=K# met onbekende #a_1#, waaruit volgt

\[a_1 = \dfrac{K\cdot i}{(1+i)^n-1}\]

Nu we alle #a_j# kennen, berekenen we de restschulden #R_j# als volgt:

\[\begin{array}{rcl}
R_j &=& R_{j-1}-a_j = R_{j-2}-a_{j-1}-a_j=\cdots\\ &=&R_0-a_1-a_2-\cdots-a_j\\ &=&K-a_1\cdot\left(1+(1+i)+(1+i)^2+\cdots+(1+i)^{j-1}\right)\\ &=&K-a_1\cdot \dfrac{(1+i)^j-1}{i}\\ &&\phantom{xxxxxxx}\color{blue}{\text{meetkundige reeks}}\\&=&K- \dfrac{K\cdot i}{(1+i)^n-1}\cdot \dfrac{(1+i)^j-1}{i}\\ &&\phantom{xxxxxxx}\color{blue}{\text{formule voor }a_1\text{ ingevuld}}\\&=&K- \dfrac{K\cdot \left((1+i)^j-1\right)}{(1+i)^n-1}\\&&\phantom{xxxxxxx}\color{blue}{\text{breuken vermenigvuldigd}}\\ &=&K\cdot\dfrac{(1+i)^n-1- \left((1+i)^j-1\right)}{(1+i)^n-1}\\&&\phantom{xxxxxxx}\color{blue}{\text{alles rechts onder één noemer gebracht}} \\&=& K\cdot \dfrac{1-(1+i)^{j-n}}{1-(1+i)^{-n}}\\
&&\phantom{xxxxxxx}\color{blue}{\text{breuk vereenvoudigd}}
\end{array}\]

De rentebetalingen #r_j# zijn direct gerelateerd aan de restschulden:

\[
r_j = i\cdot R_{j-1}= i\cdot K\cdot \dfrac{1-(1+i)^{j-1-n}}{1-(1+i)^{-n}}
\]

We concluderen dat inderdaad #Ann=a_j+r_j# constant (dat wil zeggen: niet van #j# afhangt) is voor de gevonden waarden van #a_j# en #r_j#:

\[\begin{array}{rcl}
a_j+r_j &=&a_1\cdot (1+i)^{j-1}+i\cdot K\cdot \dfrac{1-(1+i)^{j-1-n}}{1-(1+i)^{-n}}\\&&\phantom{xxxxxxx}\color{blue}{\text{formules voor }a_j\text{ en }r_j\text{ ingevuld}} \\ &=& \dfrac{K\cdot i}{(1+i)^n-1}\cdot (1+i)^{j-1}+i\cdot K\cdot \dfrac{(1+i)^n-(1+i)^{j-1}}{(1+i)^{n}-1}\\ &&\phantom{xxxxxxx}\color{blue}{\text{formule voor }a_1\text{ ingevuld}}\\ &=& K\cdot i\cdot \dfrac{ (1+i)^{j-1}+ (1+i)^n-(1+i)^{j-1}}{(1+i)^{n}-1}\\ &&\phantom{xxxxxxx}\color{blue}{\text{gelijknamige breuken opgeteld}}\\ &=& K\cdot i\cdot \dfrac{ (1+i)^n}{(1+i)^{n}-1}\\&&\phantom{xxxxxxx}\color{blue}{\text{termen met }j\text{ tegen elkaar weggestreept}}\\ &=&\dfrac{K\cdot i}{1-(1+i)^{-n}}\\&&\phantom{xxxxxxx}\color{blue}{\text{teller en noemer gedeeld door }(1+i)^n} \end{array}\]

De laatste uitdrukking is de formule voor #Ann# in de stelling.