Rijen en reeksen: Financiële toepassingen van rijen en reeksen
Andere toepassingen van rijen en reeksen
Tot nu toe hebben we al een aantal toepassingen van rekenkundige en meetkundige rijen en reeksen gezien. Tot slot zullen we kijken naar een aantal voorbeelden van rekenkundige rijen en reeksen. Deze zullen gaan over het afschrijven van de waarde van een nieuwe machine.
Een bedrijf schaft een nieuwe machine aan ter waarde van #\euro \, 150000#. Men kiest binnen het bedrijf voor een afschrijvingssysteem over #5# jaarlijkse termijnen waarbij de afschrijvingsbedragen steeds met #\euro \, 500# verminderen.
De restwaarde van de machine na die #5# jaar bedraagt #\euro \, 30000#. Hierbij laten we eventuele rentelasten buiten beschouwing.
Bereken het afschrijvingsbedrag van de eerste termijn.
De restwaarde van de machine na die #5# jaar bedraagt #\euro \, 30000#. Hierbij laten we eventuele rentelasten buiten beschouwing.
Bereken het afschrijvingsbedrag van de eerste termijn.
Afschrijvingsbedrag van de eerste termijn is #\euro# #25000#
We moeten #\euro \, 150000-30000=120000# afschrijven. Dit gaat in #5# jaar. We noemen het eerste termijnbedrag #a#. Omdat de afschrijvingsbedragen steeds met #\euro \, 500# verminderen, moet gelden:
\[a+(a-500)+(a-1000)+\cdots+(a-2000)=120000\]
Aan de linkerkant van de vergelijking staat een som van #n=5# termen van een rekenkundige rij met #v=-500#. Verder geldt er #t_1=a# en #t_{5}=a-2000#. Volgens de somformule voor een rekenkundige rij is de linkerkant gelijk aan \[\frac{1}{2} \cdot n \cdot (t_1+t_n)=\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot(a+a-2000)=5\cdot a-5000\]
Er geldt dus:
\[5\cdot a-5000=120000\]
Dit is een lineaire vergelijking met onbekende #a#. Deze lossen we als volgt op:
\[\begin{array}{rcl}
5\cdot a-5000&=&120000\\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{de op te lossen vergelijking}}\\
5 \cdot a&=&125000\\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{beide kanten plus }5000}\\
a &=& 25000\\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{beide kanten gedeeld door }5}\\
\end{array}\]
We concluderen dat het afschrijvingsbedrag van de eerste termijn gelijk is aan #\euro \, 25000#.
We moeten #\euro \, 150000-30000=120000# afschrijven. Dit gaat in #5# jaar. We noemen het eerste termijnbedrag #a#. Omdat de afschrijvingsbedragen steeds met #\euro \, 500# verminderen, moet gelden:
\[a+(a-500)+(a-1000)+\cdots+(a-2000)=120000\]
Aan de linkerkant van de vergelijking staat een som van #n=5# termen van een rekenkundige rij met #v=-500#. Verder geldt er #t_1=a# en #t_{5}=a-2000#. Volgens de somformule voor een rekenkundige rij is de linkerkant gelijk aan \[\frac{1}{2} \cdot n \cdot (t_1+t_n)=\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot(a+a-2000)=5\cdot a-5000\]
Er geldt dus:
\[5\cdot a-5000=120000\]
Dit is een lineaire vergelijking met onbekende #a#. Deze lossen we als volgt op:
\[\begin{array}{rcl}
5\cdot a-5000&=&120000\\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{de op te lossen vergelijking}}\\
5 \cdot a&=&125000\\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{beide kanten plus }5000}\\
a &=& 25000\\
&& \phantom{xxxxx}\color{blue}{\text{beide kanten gedeeld door }5}\\
\end{array}\]
We concluderen dat het afschrijvingsbedrag van de eerste termijn gelijk is aan #\euro \, 25000#.
Ontgrendel volledige toegang
Toegang voor leraar
Vraag een demo account aan. Wij helpen je graag op weg met onze digitale leeromgeving.
Toegang voor student
Is jouw universiteit niet aangesloten?
Via Pass Your Math kan je toegang krijgen tot onze cursussen onafhankelijk van je onderwijsinstelling. Bekijk de prijzen en nog veel meer. Of ga naar
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.