Afgeleide van veeltermen en machtsfuncties

Optimalisatie: Differentiëren

Afgeleide van veeltermen en machtsfuncties

Vaak is het nodig om het minimum of een maximum (samengevat: een extremum) van een functie te berekenen. Bijvoorbeeld om de fabricagekosten van een product afhankelijk van het percentage van een specifieke grondstof te optimaliseren.

Als de grafiek van een functie in elk punt een raaklijn heeft, dan zal die raaklijn in een extremum horizontaal zijn. Dit betekent dat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van de functie in zo'n punt gelijk aan $0$ is. Om het minimum en/of maximum te berekenen, zullen we daarom een hulpfunctie gebruiken: de functie die in elk punt van de functie de richtingscoëfficiënt van de raaklijn door dat punt geeft. Deze functie heet de afgeleide.

We zullen nu eerst bekijken wat de afgeleide is en vervolgens aangeven hoe we die afgeleide in een aantal veel voorkomende gevallen kunnen berekenen.

Differentiatie

Laat $f(x)$ een functie zijn op een interval $I$ . De afgeleide functie $f'(x)$ is de functie die in elk punt $\rv{x, f(x)}$ de helling van dat punt geeft. Dus $f'(x)$ is de helling van de grafiek van $f$ in het punt $\rv{x,f(x)}$ ; dat betekent dat het de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van $f(x)$ in dat punt is.

Als $f$ differentieerbaar is in alle punten van een interval $I$ , dat wil zeggen: dat we in alle punten de afgeleide functie kunnen berekenen, dan zeggen we ook dat $f$ differentieerbaar is op $I$ . In dat geval is $f’$ een functie op $I$ .

De waarde $f'(x)$ wordt vaak aangegeven met $\frac{{\dd}}{{\dd}x}f(x)$ en heet de afgeleide van $f$ in $x$ .

Als $y$ een functievoorschrift van $f$ is (dat is de waarde van $f$ in een willekeurig punt $x$ ) en $a$ een waarde voor $x$ waar $f(x)$ gedefinieerd is, dan schrijven we ook wel $\left.\frac{{\dd }}{{\dd}x}y\right|_{x=a}$ in plaats van $f'(a)$ of $\frac{{\dd y }}{{\dd}x}(a)$ .

Vaak worden de functie $f$ en het functievoorschrift $f(x)$ door elkaar gebruikt. De uitdrukkingen $f'(x)$ en $\dfrac{\dd}{\dd x}f(x)$ worden ook gebruikt in plaats van $f'$ .

Een voorbeeld van het gebruik van de verticale streep bij $f(x)=x^2+1$ , waarbij $f'(x) = 2x$ (zoals we hieronder zullen zien), is de volgende berekening van de afgeleide van $f$ in $3$ : $\frac{\dd f}{\dd x}(3)=\left.\frac{\dd}{\dd x}(x^2+1)\right|_{x=3}=\left.(2x)\right|_{x=3}=6$

Voorbeeld

Bekijk de grafiek van functie $f(x)=x^3-2\cdot x+3$ (blauw getekend) en de raaklijn eraan (rood getekend) bij het punt $\rv{2,7}$ .

Dat betekent dat de lijn door dit punt alleen daar de grafiek snijdt. Ook liggen alle punten van de lijn door dit punt ofwel boven of onder de grafiek (dus aan één kant van de grafiek).

De afgeleide van $f(x)$ in $x=2$ is gelijk aan $10$ . Dit is dus de richtingscoëfficiënt van de raaklijn.

Nieuw voorbeeld

In het algemeen is niet elke functie differentieerbaar. Bijvoorbeeld, in $0$ is de functie $f(x) = |x|$ (de absolute waarde van $x$ ) niet differentieerbaar. De grafiek heeft geen eenduidige raaklijn voor $x=0$ . Hier zal in deze cursus niet dieper op ingegaan worden.

Voor we gaan kijken hoe we veeltermen en machtsfuncties differentiëren bekijken we eerst drie handige basisregels voor differentiëren.

Drie basisregels voor differentiëren

Laat $c$ een reëel getal zijn.

Afgeleide van een constante: De afgeleide van de constante functie $f(x)=c$ is $f'(x)=0$ .
Constantenregel: De afgeleide van het product $c\cdot f(x)$ van de constante $c$ met een functie $f$ is $c\cdot f'(x)$ .
Somregel: Als $f$ en $g$ functies zijn, dan is de afgeleide van de somfunctie $f(x)+g(x)$ gelijk aan $f'(x)+g'(x)$ .

De afgeleide van de constante functie is nul. De grafiek van deze functie is immers een horizontale lijn.
De vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van $f$ in het punt $\rv{a,b}$ van de grafiek is $y = b+f'(a) \cdot(x-a)$ . Het punt op de grafiek van $c\cdot f(x)$ met dezelfde $x$ -coördinaat $a$ is dan $\rv{a,c\cdot b}$ en de vergelijk voor de raaklijn door dat punt aan de grafiek van $c\cdot f'$ is dan $y=c\cdot b+c\cdot f'(a)\cdot(x-a)$ . De richtingscoëfficënt van de raaklijn is dus $\left.\frac{\dd}{c\cdot f'(x)}\right|_a = c\cdot f'(a)$ . De conclusie is dat de afgeleide van $c\cdot f(x)$ gelijk is aan $c\cdot f'(x)$ .
Als $y = b+f'(a) \cdot(x-a)$ de raaklijn aan de grafiek van $f$ is in het punt $\rv{a,b}$ en als $y = c+g'(a) \cdot(x-a)$ de raaklijn aan de grafiek van $g$ is in het punt $\rv{a,c}$ , dan is $y =b+c+ \left(f'(a)+g'(a)\right)\cdot(x-a)$ de raaklijn aan de grafiek van $f(x)+g(x)$ in het punt $\rv{a,b+c}$ . Dit laat zien dat $\frac{\dd}{\dd x}\left(f(x)+g(x)\right) = \frac{\dd}{\dd x}f(x) +\frac{\dd}{\dd x}g(x)$ .

De lineaire functie $3x+4$ heeft als afgeleide $3$ . Dat is immers de richtingscoëfficiënt van de grafiek van $f$ , die zelf een lijn is. Maar als we het feit gebruiken dat de afgeleide van de functie $x$ gelijk is aan $1$ , dan volgt dit feit ook uit toepassing van bovenstaande regels:

$\begin{array}{rcl} f'(x) &=&\frac{\dd}{\dd x}\left(3x+4\right)\\ &=&\frac{\dd}{\dd x}\left(3x\right)+\frac{\dd}{\dd x}\left(4\right)\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{somregel}}\\ &=&\frac{\dd}{\dd x}\left(3x\right)+0\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{constantenregel}}\\ &=&3\frac{\dd}{\dd x}\left(x\right)\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{product-met-constante-regel}}\\ &=&3\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\frac{\dd}{\dd x}\left(x\right)=1}\end{array}$

Om veeltermen te kunnen differentiëren moeten we de afgeleide van de machtsfuncties $x^n$ , waarbij $n$ een natuurlijk getal is, nog leren kennen. Dit is een speciaal geval van de eerste regel hieronder, die de afgeleide van alle reële machtsfuncties behandelt

Machtregel voor differentiatie

Als $a$ een reëel getal is, dan is de afgeleide van de functie $x^a$ gelijk aan $a\cdot x^{a-1}$ . Met andere woorden: $\frac{\dd}{{\dd}x}x^a = a\cdot x^{a-1}$

Een gevolg hiervan is de veeltermregel: Als $n$ een natuurlijk getal is en $a_0$ , $a_1,\ldots, a_n$ reële getallen zijn, dan geldt
$\frac{\dd}{{\dd}x}\left(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_0\right)=n\cdot a_nx^{n-1}+(n-1)\cdot a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1$

Voor $a=0$ is $x^a$ een constante functie, waarvan al bekend is dat de afgeleide gelijk is aan $0$ .

Met bovenstaande regel en met de somregel is de afgeleide van elke veeltermfunctie $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_0$ te vinden. Dit is in te zien door herhaalde toepassing van de drie basisregels voor differentiëren.

Voor $a=0$ is $x^a$ een constante functie, waarvan al bekend is dat de afgeleide gelijk is aan $0$ . Voor $a=1$ is de grafiek van $x^a$ een lijn, waarvan we ook al weten dat de afgeleide de constante functie $1$ is. We laten het bewijs voor andere waarden van $a$ achterwege.

De tweede uitspraak, over de afgeleide van een veeltermfunctie, is te bewijzen door de eerste uitspraak te gebruiken en de drie basisregels voor differentiëren herhaaldelijk toe te passen.

Bereken de afgeleide van $y=$ $8 \cdot x^{-3}$ .

$y'=$ $-{{24}\over{x^4}}$

Met behulp van de machtregel voor differentiatie $\frac{\dd}{\dd x}\left(a\cdot x^n\right) = n\cdot a\cdot x^{n-1}$ met $a=8$ en $n=-3$ , vinden we: $y'=\frac{\dd}{\dd x}y=\frac{\dd}{\dd x}\left(8 \cdot x^{-3}\right) =8 \cdot (-3) \cdot x^{-4} =-{{24}\over{x^4}}$

Nieuw voorbeeld