Inleiding tot differentiëren: Definitie afgeleide
Inleiding
Voor diverse soorten vraagstukken is het handig om te weten met welke snelheid een functie verandert.
- In de natuurkunde kun je bijvoorbeeld van een voorwerp, uitgaande van een grafiek van plaats als functie van tijd, de bewegingssnelheid berekenen.
- In de economie zijn er veel toepassingen van deze veranderingen om de marginale opbrengst en marginale kosten te berekenen.
- Vaak kun je gebruik maken van de helling van de grafiek van een functie (waarmee de snelheid van verandering gemeten wordt) om de extremen van die functie te berekenen.
In dit hoofdstuk zullen we leren hoe je de verandering van een functie berekent.
Een manier om de verandering van een functie in een punt weer te geven, is de raaklijn.
Raaklijn
Laat een grafiek gegeven zijn, met daarop een punt #P#. Een lijn #l# door #P# is een raaklijn in #P# aan de grafiek als:
- de lijn #l# in een kleine omgeving van #P# alleen punt #P# gemeenschappelijk heeft met de grafiek;
- de punten van de lijn #l# in een kleine omgeving van #P# allemaal aan dezelfde kant van de grafiek liggen.
De grafiek is vaak, maar niet altijd, afkomstig van een functie.
De raaklijn in #P# aan een grafiek hoeft niet te bestaan en niet uniek te zijn. Als het wel uniek is, dan is de helling van de raaklijn #l# een goede maat voor de snelheid van verandering van de grafiek in het punt #P# en kun je spreken van de helling van de grafiek in dat punt #P#.
Hieronder zijn de grafiek van een kwadratische functie #f# en de raaklijn aan #f# in een punt #\rv{p,f(p)}# getekend. Je kunt de punten #\rv{a,f(a)}# en #\rv{b,f(b)}# bewegen om te zien hoe de raaklijn meebeweegt.
De helling van de raaklijn geeft informatie over hoe snel de waarde van de functie #f(x)# verandert als we de variabele #x# veranderen. Als we een punt #P# van de grafiek vast leggen en de helling van de grafiek in het punt weten, dan is de raaklijn bepaald. We gaan uitzoeken hoe we de helling van de raaklijn in #P# kunnen berekenen en dus de helling van de functie in #P#.
Lijn #a# en lijn #d# zijn raaklijnen aan de grafiek.
Lijn #a# is een raaklijn in #x=-1.36#: rond dat punt heeft de lijn namelijk alleen dat punt gemeenschappelijk met de grafiek, en daar ligt de lijn helemaal onder de grafiek.
Lijn #d# is een raaklijn in #x={{1}\over{4}}#: rond dat punt heeft de lijn alleen dat punt gemeenschappelijk met de grafiek, en daar ligt de lijn volledig onder de grafiek.
Lijn #b# en lijn #c# zijn geen raaklijnen, want ze hebben geen klein gebied waarin maar één snijpunt met de grafiek is en waarin alle andere punten aan één kant van de grafiek liggen.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
