Rekenregels voor exponentiële functies en logaritmen

Inleiding tot differentiëren: Afgeleiden van exponentiële functies en logaritmen

Rekenregels voor exponentiële functies en logaritmen

Voordat we doorgaan met differentiëren, benoemen we de meest gebruikte rekenregels voor de natuurlijke exponentiële functies en logaritmen.

Rekenregels voor de natuurlijke exponentiële functie en logaritme

Laat #x#, #y#, #a# positieve getallen zijn met #a\ne1# en laat #u# en #v# willekeurige getallen zijn.

#\ln(1) = 0#
#\ln(x\cdot y) =\ln(x)+\ln(y)#
#\ln\left(\dfrac{1}{x}\right) =-\ln(x)#
#\ln\left(\dfrac{x}{y}\right) =\ln(x)-\ln(y)#
#\ln\left(x^u\right) =u\cdot \ln(x)#
#\log_a(x) =\dfrac{\ln(x)}{\ln(a)}#
#\e^{\ln(x)}=x#
#\ln\left(\e^u\right) = u#
als #u\lt v#, dan #\e^u\lt \e^v#; met andere woorden: #\exp# is stijgend op #\mathbb{R}#
als #x\lt y#, dan #\ln(x)\lt \ln(y)#; met andere woorden: #\ln# is stijgend op #\ivoo{0}{\infty}#

De uitspraken volgen alle direct uit de Eigenschappen van de logaritme en de bekende regels van de rekenkunde.

Regel 6 maakt het mogelijk om een logaritme met basis #a# uit te drukken in de natuurlijke logaritme.

Vereenvoudig de uitdrukking #\exp(\ln\left( x^{8} \right) - 4\cdot\ln\left( y \right))#.

#{{x^8}\over{y^4}}#

Dit is als volgt in te zien:
\[ \begin{array}{rclcl}
\e^{\ln{(x^8)}-4 \cdot \ln{(y)}} &=&\e^{\ln{(x^8)}-\ln{(y^4)}} &\phantom{xx}&\color{blue}{a\cdot\ln(b)=\ln\left(b^a\right)}\\
&=& \frac{\e^{\ln{(x^8)}}}{\e^{\ln{(y^4)}}} &\phantom{xx}&\color{blue}{\e^{a-b}=\frac{\e^a}{\e^b}}\\
&=& \frac{x^8}{y^4}&\phantom{xx}&\color{blue}{\e^{\ln\left(a\right)}=a}\\
\end{array} \]

Nieuw voorbeeld