Bewerkingen met functies: Exponentiële functies en logaritmen
Groei van de logaritmische functie
Hieronder zijn de grafieken van de logaritmische functies #\log_2# en #\log_{\frac{1}{2}}# getekend in het blauw.
Aangezien de logaritme de inverse van de exponentiële is, is het eenvoudig om de grafiek te verkrijgen; het enige wat je hoeft te doen is de grafiek van de exponentiële functie (in rood getekend) spiegelen in de lijn \(y=x\).
Deze grafieken laten zien dat #\log# monotoon is en minder snel groeit dan een veelterm.
Regel voor logaritmische versus polynomiale groei
Voor \(a\gt1\) en \(n\in\mathbb{N}\) \[\lim_{x\to\infty}\frac{x^n}{\log_a(x)}=\infty\] en \[\lim_{x\to\infty}\frac{\log_a(x)}{x^n}=0\]
Met andere woorden, de term \(x^n\) wordt veel groter dan \(\log_a(x)\) (voor elk natuurlijk getal \(n\) ), wanneer \(x\) naar oneindig gaat (de term \(x^n\) "groeit sneller" dan de term \(\log_a(x)\) ). Merk op dat dit geldt ongeacht hoe dicht #a# bij #1# ligt en ongeacht hoe groot #n# is.
Dit resultaat is slechts een herformulering van de stelling exponentiële versus polynomiale groei, zoals blijkt door substitutie #x=a^y# in hierboven genoemde uitdrukkingen. Bijvoorbeeld, de eerste limiet wordt dan #\lim_{y\to\infty}\frac{a^{y\cdot n}}{\log_a(a^y)}=\lim_{y\to\infty}\frac{\left(a^y\right)^ n}{y}=\left(\lim_{y\to\infty}\frac{a^{y}}{y^{\frac{1}{n}}}\right)^n=\infty#.
Dit volgt uit de rekenregel 6 van Rekenregels voor limieten met #\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{4}}{2^{4 x}}# en #h(x) = \log_2(x)#. Op #\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x) # kunnen we de theorie toepassen om in te zien dat de limiet #0# is.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.