Bewerkingen met functies: Nieuwe functies uit oude
Samenstelling van functies
Samenstelling van functies is een zeer natuurlijk begrip: het is het eerst uitvoeren van één functie, en vervolgens een andere functie.
Samenstelling van functies
Laat #f# en #g# twee reële functies zijn. De samenstelling van #f# en #g# is de functie #f\circ g # met functievoorschrift \[f\circ g(z)= f(g(z))\tiny.\]
De definitie geldt ook voor samenstellingen die meer dan twee functies omvatten. Als bijvoorbeeld #h# ook een functie is, dan \[f\circ g\circ h(z) = f(g(h(z)))\tiny.\]
De variabele #z# vertegenwoordigt een willekeurig element van het domein van #f# zodat #f(z)# tot het domein van #g# behoort.
De samenstellingen #f\circ g# en #g\circ f# hoeven niet gelijk te zijn: als #f(x)=x^2# en #g(x)=x+1#, dan \[\begin{array}{rcl} f\circ g(x)&=& f(x+1)=x^2+2x+1\\&\text{en}&\\ g\circ f(x)&=& g(x^2)=x^2+1\end{array}\] zodat de twee functies #f\circ g# en #g\circ f# verschillen.
Het is gebruikelijk om zowel #f\circ g# en #f\cdot g# af te korten tot #f\,g#, en net zo dat de #f\circ f# en #f\cdot f# worden afgekort #f^2# . We zullen dit niet doen, om verwarring te voorkomen.
Als #f# is de functie met domein #\{1,2,3\}# en functievoorschrift #f(x)=2^x# en #g(x)=-\frac{1}{12}x^2+\frac{3}{2}x+\frac{1}{3}#, dan neemt #h = g\circ f# respectievelijk de waarden #h(1)=g(2)=3#, #h(2)=g(4)=5#, #h(3)=g(8)=7# op het domein van #f# aan. De berekening wordt hieronder gevisualiseerd.
Hier zijn enkele voorbeelden.
Immers, \[\begin{array}{rcl}f\circ g(x)&=& f\left(g(x)\right)\\ &&\phantom{xyzuvw}\color{blue}{\text{samenstelling van functies}}\\&=& 8\cdot g(x) \\&&\phantom{xyzuvw}\color{blue}{\text{functievoorschrift van }f\text{ ingevuld}}\\ &=&8\cdot \left(x+1\right)\\&&\phantom{xyzuvw}\color{blue}{\text{functievoorschrift van }g\text{ ingevuld}}\\ \end{array}\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.